Question

如图所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距L=0.20m，电阻R=8Ω，有一电阻r=2Ω，质量m=1kg的金属棒ab垂直平放在轨道上，轨道电阻可忽略不计，整个装置处于垂直轨道平面向下的匀强磁场中，磁感应强度B=5T，现用一外力F沿轨道方向拉金属棒，使之做初速为零的匀加速直线运动，加速度a=1m/s²．试求：
（1）2s内通过电阻R的电量Q大小；
（2）外力F与时间t的关系；
（3）求当t=5s时电阻R上的电功率P_R和F的功率P_F的大小，并用能量守恒的观点说明两者为何不相等？

Answer 1

分析：（1）金属棒做初速为零的匀加速直线运动，由运动学公式位移求出2s通过的位移，由Q=I△t、I=

E

R+r

、E=

△Φ

△t

结合求解电量Q；
（2）推导出安培力的表达式，根据牛顿第二定律得到外力F与时间t的关系式；
（3）当t=5s时，求出感应电流，即可求出电阻R上的电功率P_R，P_F=Fv．分析能量如何转化来解释：外力F的功率转化为用于导体棒动能增加的机械功率和电阻上的发热功率，而发热功率还包括电阻R上的功率和导体棒电阻r的功率，所以有P_R＜P_F．

解答：解：（1）t=2s时，金属棒通过的位移为 x=

1

2

at2=2m
回路磁通量的变化量为△Φ=BxL=2Wb
感应电流为 I=

BLv

(r+R)

则电量  Q=I△t=

△φ

R+r

代入解得  Q=0.2C
（2）安培力表达式为F_A=BIL=B

BLv

R+r

L=

B2L2at

R+r

代入解得，FA=

B2L2at

(r+R)

=0.1t
根据牛顿第二定律得  F-F_A=ma
则得  F=1+0.1t   
（3）当t=5s时，I=

BLat

(R+r)

=0.5A，
则P_R=I²R=2W，
因F=1.5N，v=at=5m/s，则P_F=Fv=7.5W．  
外力F的功率转化为用于导体棒动能增加的机械功率和电阻上的发热功率，而发热功率还包括电阻R上的功率和导体棒电阻r的功率，所以有P_R＜P_F．  
答：（1）2s内通过电阻R的电量Q大小是0.2C；
（2）外力F与时间t的关系是F=1+0.1t；
（3）当t=5s时电阻R上的电功率P_R是2W，F的功率P_F的大小是7.5W，外力F的功率转化为用于导体棒动能增加的机械功率和电阻上的发热功率，而发热功率还包括电阻R上的功率和导体棒电阻r的功率，所以有P_R＜P_F．

点评：本题中用到两个经验公式：一是感应电荷量公式q=

△Φ

R+r

；二是安培力公式F_A=

B2L2v

R+r

．对于能量问题，关键要分析能量有几种形式，把握能量是如何转化的．