Question

10．如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到最高点C处后水平抛出，恰好落回A点，问：
（1）推力对小球做了多少功？
（2）x取何值时，完成上述运动时所做的功最少？最少功为多少？

Answer 1

分析 （1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．
2）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，根据（1）问的结果求出x，即可得到最小功；

解答 解：（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，质点从C点运动到A点所用的时间为t，
在水平方向：x=v_Ct                          
竖直方向上：2R=$\frac{1}{2}gt_{\;}^2$      
解①②有   v_C=$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$
对质点从A到C由动能定理有
W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}mv_c^2$
解得 W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$            
（2）要使F力做功最少，确定x的取值，由W_F=2mgR+$\frac{1}{2}$mv²知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小．                                 
若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有
mg=$\frac{{m{v^2}}}{R}$，则v=$\sqrt{Rg}$                    
则有$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{gR}$，解得：x=2R                      
当x=2R时，W_F最小，最小的功：W_F=$\frac{5}{2}$mgR       
答：（1）推力对小球做功为$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）x取何值为2R，完成上述运动时所做的功最少，最少功为$\frac{5}{2}mgR$

点评 本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为$\sqrt{gR}$，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值