题目内容

(2006?东城区一模)如图所示,ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道,AB是半径为R=15m的
1
4
圆周轨道,半径OA处于水平位置,BDO是直径为15m的半圆轨道,D为BDO轨道的中央.一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下,沿竖直平面内的轨 道通过D点时对轨道的压力等于其重力的
14
3
倍.取g=10m/s2
(1)H的大小?
(2)试讨论此球能否到达BDO轨道的O点,并说明理由.
(3)小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少?
分析:(1)设小球通过D点的速度为v,根据向心力公式列出方程,小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中,机械能守恒,可解得H的高度;
(2)先求出0点的最小速度,然后根据机械能守恒定律得到要到达0点需要从多高的地方下落,把这个高度和H进行比较即可解题;
(3)先求出小球由H落下通过O点的速度,小球通过O点后作平抛运动,设小球经时间t落到AB圆弧轨道上,根据几何关系即可求解.
解答:解:(1)设小球通过D点的速度为v,则有:
m
v2
R
2
=F=
14
3
mg

小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中,机械能守恒,有mg(H+
R
2
)=
1
2
mv2

可得高度H=
2
3
R=10m

(2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vc,有m
vC2
R
2
=mg

小球至少应从Hc高处落下,mgHC=
1
2
mvC2

解得HC=
R
4
   由H>HC,小球可以通过O点.
(3)小球由H落下通过O点的速度为v0=
2gH
=14.1m/s

小球通过O点后作平抛运动,设小球经时间t落到AB圆弧轨道上,有
x=v0t
y=
1
2
gt2
      
且x2+y2=R2
可解得时间t=1s  (另解舍弃)  
落到轨道上速度的大小v=
v02+g2t2
=17.3m/s
点评:整个过程中物体的机械能守恒,离开O点小球做平抛运动,直到落到轨道上,知道物体的运动过程,根据物体的不同的运动状态,采用相应的物理规律求解即可.
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