Question

（2006?东城区一模）如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的

1

4

圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨 道通过D点时对轨道的压力等于其重力的

14

3

倍．取g=10m/s²．
（1）H的大小？
（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由．
（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？

Answer 1

分析：（1）设小球通过D点的速度为v，根据向心力公式列出方程，小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，可解得H的高度；
（2）先求出0点的最小速度，然后根据机械能守恒定律得到要到达0点需要从多高的地方下落，把这个高度和H进行比较即可解题；
（3）先求出小球由H落下通过O点的速度，小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，根据几何关系即可求解．

解答：解：（1）设小球通过D点的速度为v，则有：
m

v2

R 2

=F=

14

3

mg
小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有mg（H+

R

2

）=

1

2

mv2
可得高度H=

2

3

R=10m
（2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为v_c，有m

vC2

R 2

=mg
小球至少应从H_c高处落下，mgHC=

1

2

mvC2
解得HC=

R

4

   由H＞H_C，小球可以通过O点．
（3）小球由H落下通过O点的速度为v0=

2gH

=14.1m/s
小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，有
x=v₀t
y=

1

2

gt2      
且x²+y²=R²
可解得时间t=1s  （另解舍弃）  
落到轨道上速度的大小v=

v02+g2t2

=17.3m/s

点评：整个过程中物体的机械能守恒，离开O点小球做平抛运动，直到落到轨道上，知道物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．