Question

3．如图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方有一圆形的有界匀强磁场（图中未画），磁场方向垂直于纸面向内，磁感应强度B=0.1T，x轴下方有一方向斜向右上与y轴正方向夹角α=37°的匀强电场．在x轴上放一挡板，长2.4m，板的左端在坐标原点O处，有一带正电粒子从y轴上的P点（坐标0，6.8）以大小v=4m/s，方向与y轴负方向成θ=53°角的速度射入第二象限，经过圆形磁场偏转后从x轴上的A点（坐标-1.6，0）与x轴正方向夹α=37°角射出并进入电场运动．已知粒子的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，不计粒子的重力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）粒子在圆形磁场中运动时，轨迹半径为多少？
（2）圆形磁场区域的最小面积为多少？
（3）要让带电粒子射出电场时能打在挡板上，求电场强度E的大小满足的条件及从P点射出到打在挡板上对应的最长时间．

Answer 1

分析 （1）由洛仑兹力充当向心力可求得半径；
（2）由几何关系明确磁场圆的最小半径；则可求得最小面积；
（3）根据题意明确粒子的运动过程，根据对称性可求得粒子转动情况，分别求得各过程中的时间，则可求得总时间．

解答 解：（1）由洛仑兹力充当向心力可知：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
代入数据解得：r=2m；
（2）由几何关系可得：圆形磁场半径最小值R满足：
R=rsin53°=2×0.8=1.6m；
则对应的最小面积为：
s=πR²=π×（1.6）²=2.56π（m²）
（3）粒子进入电场后做类平抛运动，设它从A点射到X轴时的位移为x，则有：
xcos37°=vt；
xsin37°=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}{t}^{2}$
联立解得：E=$\frac{15m{v}^{2}}{8qx}$=$\frac{3x}{2}$
代入数据解得：$\frac{3}{8}$≤E≤$\frac{15}{16}$
由图的对称性可知：
op+OAtan37°=2R+2lcos57°
代入数据解得：l=4m；
打在档板右端对应的时间最长；
t₁=$\frac{l}{v}$=$\frac{4}{4}$=1s；
t₂=$\frac{53}{180}T$=$\frac{53πm}{90qB}$=$\frac{53π}{180}$（s）
t₃=（$\frac{l-\frac{OA}{cos37°}}{v}$）=0.5s
t₄=$\frac{4cos37°}{v}$=0.8s；
t=1+0.5+0.8+$\frac{53π}{180}$=2.3+$\frac{53π}{180}$（s）
答：（1）粒子在圆形磁场中运动时，轨迹半径为为2m；
（2）圆形磁场区域的最小面积为2.56π（m²）；
（3）要让带电粒子射出电场时能打在挡板上，电场强度E的大小满足的条件为$\frac{3}{8}$≤E≤$\frac{15}{16}$；从P点射出到打在挡板上对应的最长时间为2.3+$\frac{53π}{180}$（s）．

点评 本题是粒子在混合场中运动，根据粒子在场中的运动特点，结合几何关系可列式求解，难度适中