Question

如图所示，在光滑水平面上有一质量为M，长为L的长木板，另一小物块质量为m，它与长木板间的动摩擦因数为μ，开始时，木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，以共同的速度v₀向右运动，当长板与右边固定竖直挡板碰撞后，速度反向，大小不变，且左右挡板之间距离足够长．?
（1）试求物块不从长木板上落下的条件．
（2）若上述条件满足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s．试计算整个系统在第五次碰撞前损失的所有机械能．

Answer 1

分析：（1）由于小物块与长木板存在摩擦力，系统的机械能不断减少，所以小物块第一次与挡板碰撞后两者相对速度最大，第1次小物块若不能从长木板上掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物块恰好不从木板上掉下时，两者速度相同，而且物块恰好滑到木板的另一端，根据动量守恒定律求出第一次碰撞后两者的共同速度，由能量守恒定律求出长木板的长度L最小值．
（2）根据动量守恒定律求出4次碰撞后物块与木板的共同速度，寻找规律，再求解整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．

解答：解：（1）设第一次碰撞后速度为v₁，第n次碰撞后速度为v_n，每次碰撞后，由于两挡板距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第一次若不能掉下，往后每次滑动距离越来越短，更不可能掉下．由动量守恒定律和能量守恒定律知?
（M-m）v₀=（M+m）v₁ ①?
mgμL=

1

2

（m+M）

v

2 0

-（M+m）

v

2 1

 ②?
由①②解得L=

2M v 2 0

μ(M+m)g

当木板长大于L即可，即L≥

2M v 2 0

μ(M+m)g

?
（2）第二次碰撞前，有（M-m）v₀=（M+m）v₁?
第三次碰撞前，（M-m）v₁=（M+m）v₂?
第n次碰撞前?（M-m）v_n-2?=（M+m）v_n-1?v_n-1?=(

M-m

M+m

)n-1v0?
第五次碰撞前v4=(

M-m

M+m

)4v0
故第五次碰撞前损失的总机械能为?△E=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(M+m)

v

2 4

?
代入数据解得：△E=148.1J?
答：
（1）当木板长大于L即可，即L≥

2M v 2 0

μ(M+m)g

?物块不从长木板上落下．
（2）若上述条件满足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s．整个系统在第五次碰撞前损失的所有机械能为148.1J．

点评：本题采用数学归纳法研究多次碰撞过程遵守的规律，考查分析和处理复杂运动过程的能力．