Question

如图，ABCDE是由三部分绝缘光滑轨道平滑连接在一起组成的，AB为水平轨道，弧BCD是半径为R的半圆弧轨道，O为其圆心．半径为2R的圆弧轨道DE与弧BCD相切在轨道最高点D处，E、C、O三点位于同一高度，R=1m．整个装置处在水平向右的匀强电场之中，电场强度E=10⁶N/C．静止在A点处质量m=0.4kg，电量q=3×10^-6 C的带正电小球在电场力的作用下开始沿轨道运动，小球恰能始终贴着圆弧轨道BCDE的内侧通过其最高点D后，从E点飞出．（g取10m/s²）求：
（1）小球通过B点时的速度及对轨道的作用力N；
（2）AB的距离d=？

Answer 1

分析：（1）先分别求出小球所受的重力和电场力，得到它们的合力F_合大小和方向．当F_合方向恰好通过圆心O时，设此时小球的位置为Q点，当小球通过Q点的瞬间与轨道间的弹力为0，根据牛顿第二定律列式求出小球通过Q点的速度．从B到Q，运用动能定理列式求出小球通过B点时的速度，再由牛顿第二定律、第三定律求解小球对轨道的作用力．
（2）从A到B，运用动能定理求解d．

解答：解：（1）小球所受的电场力F=qE=3×10^-6 C×10⁶N/C=3N．
重力G=mg=0.4×10N=4N．故二力的合力大小为F_合=5N
方向与竖直方向成37°斜向下．
当F_合方向恰好通过圆心O时，设此时小球的位置为Q点，如图所示．
据题意，小球过Q点瞬间与轨道之间的弹力为0，由牛顿第二定律得
   F=m

v 2 Q

2R

解得，v_Q=5

R

从B到Q，由动能定理得：-mg?2Rcos37°-qE?2Rsin37°=

1

2

m

v

2 Q

-

1

2

mv

2 B

解得，v_B=5

5

R
过B点瞬间，据牛顿第二定律得：N′-mg=m

v 2 B

R

解得，N′=34N
所以根据牛顿第三定律得，小球对轨道的作用力N=N′=34N，方向竖直向下．
（2）从A到B，运用动能定理得 qEd=

1

2

m

v

2 B

解得，d=5R
答：（1）小球通过B点时的速度是5

5

R，对轨道的作用力N是34N，方向竖直向下．；
（2）AB的距离d=5R．

点评：本题关键是将重力和电场力合成后当作一种全新的场力，然后左侧等效场的最高点，根据动能定理和牛顿第二定律灵活列式求解．