Question

如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量与B球的质量均为m=1kg，杆长L为=0.2m．
（1）某同学用 mAgL=

1

2

mAv2+

1

2

mBv2…，求得A球着地时的速度．你认为正确吗？若正确，请接着进行下面的计算；若不正确，请你给出正确的答案．
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大？
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？

Answer 1

分析：（1）A、B两球沿着杆方向的分速度相等；
（2）A球机械能最小时，B球机械能最大，故B球动能最大，速度最大，处于平衡状态，紫支持力和重力平衡；
（3）A、B两球沿着杆方向的分速度相等，再根据机械能守恒定律列式求解出B球速度表达式，再进行分析并求解极值．

解答：解：（1）不准确，因为A球刚着地时，B球速度为零；
正确解法如下：设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得：mAgL=

1

2

mAv2，解得v=

2gL

=2m/s；
（2）当A球机械能最小时，B球速度最大，此时B球的加速度为零，则杆对球的作用力为零，设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得：
N=m_Bg=10N；
（3）设满足题干条件时杆与竖直方向的夹角为θ，A、B两球的速度各为v_A、v_B，系统满足机械能守恒，则：
mAgL(1-cosθ)=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

且v_A和v_B沿杆方向分速度大小相等，即v_Acosθ=v_Bsinθ
联立以上两式解得：vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

当A球机械能最小时，v_B达最大
上式可以写成：
vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

=

gL(2-2cosθ)cosθ?cosθ

即当cosθ=（2-2cosθ）时，v_B最大，亦即此时A球机械能最小，所以cosθ=

2

3

．
答：（1）解法不正确，A的速度为2m/s；
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为10N；
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为

2

3

．

点评：该题突破口是系统机械能守恒（墙和地对球的弹力不做功），由绳物模型可知，B的速度沿杆方向的分速度等于杆的速度，越向下运动杆的速度越小，当A刚要到地面时杆的速度为零．即B的速度为零．