Question

2．如图所示，在平面坐标系的第I象限内，直线OP与x轴正向的夹角θ为$\frac{π}{4}$，OP与y轴之间存在垂直于坐标平面向外的，磁感应强度大小为B的匀强磁场；OP与x轴之间有方向沿x轴负方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（粒子重力不计），从原点O沿y轴正方向以速度v₀射入磁场，从x轴上某处沿与x轴负向成$\frac{π}{4}$角的方向离开第I象限．求：
（1）粒子第一次经过直线OP时的坐标．
（2）电场强度的大小．
（3）若只在第Ⅳ象限中适当区域加一方向垂直坐标平面，磁感应强度为2B的圆形匀强磁场，使粒子能再次经过坐标原点O且与y轴正向夹角为$\frac{π}{4}$进入第Ⅱ象限．试计算所加磁场的最小面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据左手定则可得．粒子在磁场中向右偏转，结合洛伦兹力提供向心力放电方程即可求出坐标；
（2）粒子在进入电场后做类平抛运动，将运动分解，即可求出电场强度；
（3）用矢量分解与合成的方法求出粒子进入第四象限的速度，结合半径公式、轨迹图与几何关系即可求解

解答 解：（1）根据牛顿第二定律$qVB=m\frac{{V}^{2}}{R}$
所以R=$\frac{m{V}_{0}}{qB}$
粒子从O点沿y轴正方向射出后经四分之一个圆周到达直线OP上的A点，所以第一次经过直线OP时的坐标为
$（\frac{m{V}_{0}}{qB}，\frac{m{V}_{0}}{qB}）$
（2）分析可知，此后粒子将沿x轴正方向进入电场中，减速到零后方向加速又回到磁场，经过四分之三个圆周后又从D点沿y轴负方向进入电场做类平抛运动，最后经过x轴．分析可知，D点离x轴的距离为2R
-y方向粒子做匀速直线运动：2R=V₀t
-x方向粒子做匀加速直线运动：V_x=at，a=$\frac{qE}{m}$
分解速度：tan45°=$\frac{{V}_{0}}{{V}_{x}}$
解得E=$\frac{B{V}_{0}}{2}$
（3）粒子进入第四象限，速度大小V=$\sqrt{2}{V}_{0}$
在磁感应强度为2B的磁场中的轨道半径大小为：R$′=\frac{\sqrt{2}}{2}R$=$\frac{\sqrt{2}m{V}_{0}}{2qB}$
速度方向偏转$\frac{π}{4}$可以满足题目条件，因此加最小面积的磁场如图所示．
最小圆形区域直径 d=$\sqrt{2}R′$
最小面积 S=$\frac{1}{4}π{d}^{2}$=$\frac{π{m}^{2}{V}_{0}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）粒子第一次经过直线OP时的坐标$（\frac{m{V}_{0}}{qB}，\frac{m{V}_{0}}{qB}）$．
（2）电场强度的大小$\frac{B{V}_{0}}{2}$．
（3）若只在第Ⅳ象限中适当区域加一方向垂直坐标平面，磁感应强度为2B的圆形匀强磁场，使粒子能再次经过坐标原点O且与y轴正向夹角为$\frac{π}{4}$进入第Ⅱ象限．试计算所加磁场的最小面积是$\frac{π{m}^{2}{V}_{0}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$

点评 考查带电粒子做匀速圆周运动与类平抛运动中，用牛顿第二定律与运动学公式，并结合几何关系来处理这两种运动，强调运动的分解，并突出准确的运动轨迹图