Question

（2012?马鞍山模拟）（选做）．如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压U_AB，两板间电场可看做是均匀的，且两板外无电场，极板长L=0.2m，板间距离d=0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板间中线OO′垂直，磁感应强度B=5×l0^-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷

q

m

=108C/kg，重力忽略不计，每个粒子通过电场区域的时间极短，此极短时间内电场可视作是恒定不变的．求：
（1）在t=0．ls时刻射入电场的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为多少；
（2）带电粒子射出电场时的最大速度；
（3）在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析：（1）在t=0．ls时刻射入电场的带电粒子，在电场中做匀速直线运动，进入磁场做圆周运动，垂直边界进入磁场，知运动半个圆周射出，在MN上射入点和射出点的距离为2R．
（2）带电粒子从极板的边缘射出电场时速度最大，根据带电粒子在磁场中做类平抛运动，根据沿电场方向上的匀加速直线运动，求出偏转的电压，根据动能定律求出射出电场的最大速度．
（3）在t=0.25s时偏转电压为100V，根据第二问解出的结论知，粒子贴着上边缘进入磁场，根据v=

2

v，知垂直进入磁场时与磁场边界的夹角为

π

4

，射出磁场时与磁场边界的夹角也为

π

4

，故对应的圆心角为

π

2

，根据t=

θ

2π

T求出粒子在磁场中的运动的时间．

解答：解：（1）在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子，在极板间做匀速直线运动，以v₀垂直磁场边界射入磁场．
由qvB=m

v2

R

得，R=

mv

qB

=0.2m
在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为d=2R=0.4m．
（2）设带电粒子从极板的边缘射出电场时速度最大，对应的瞬时电压为u₀，则：

1

2

d=

1

2

u0q

dm

(

L

v0

)2，解得u₀=100V．
由动能定理得，

1

2

qu0=

1

2

mv2-

1

2

mv02．
射出的最大速度v=

2

v0=

2

×105m/s．
（3）在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，从极板的上边缘射出电场，垂直进入磁场时与磁场边界的夹角为

π

4

，射出磁场时与磁场边界的夹角也为

π

4

，故对应的圆心角为

π

2

，故在磁场中运动的时间为圆周运动周期的四分之一．
由qvB=

mv2

R

，T=

2πR

v

，得T=

2πm

qB

，
所以t=

T

4

=1.57×10-5s．
答：（1）进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为0.4m．
（2）带电粒子射出电场时的最大速度为

2

×105m/s．
（3）在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，在磁场中运动的时间为1.57×10^-5s．

点评：解决本题的关键理清粒子在电场中和磁场中的运动轨迹，结合运动学公式、牛顿第二定律和动能定理进行求解．