Question

如图所示，在半径为a的圆形区域中存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场．在圆形区域中固定放置一绝缘材料制成的边长a的刚性正方形框架，其中心位于圆心O上．边上中点处有一粒子源，可沿垂直于边向下，以不同速率发射质量为m，电荷量为q的正电粒子．若这些粒子与正方形框架发生碰撞时，粒子速度方向均垂直于被碰的边并以原速率返回，电荷量不变．不考虑粒子间相互作用及重力，求：

(1)带电粒子速度的大小取哪些数值时，可使点发出的粒子最终又回到点？

(2) 若该磁场是无界匀强磁场，从点发出的粒子最终又回到点所用的最短时间是多少？此时粒子的速度是多大？

Answer 1

（1）带电粒子从点垂直于边以速度射出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于边上，其半径可由，(2分)求得 (1分)

要求此粒子每次与正方形框架的四条边碰撞时都与边垂直，且能回到点，则和应满足以下条件：

由于碰撞时速度与边垂直，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于正方形框架的边上，粒子绕过正方形框架顶点C、、、时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即C、、、）上．粒子从点开始向右作圆周运动，其轨迹为一系列半径为的半圆，在边上最后一次的碰撞点与点的距离应为，所以的长度应是的奇数倍。即    n=0,1,2,3……       (2分)

由几何知识得：       (2分)

延长OE至M，EM=1.1a -OE=0.1a                     

若使粒子不射出磁场，有R0.1 a             (2分)

解之n3.04  即n=4,5,6……     (1分)

解之     (1分)

(2) 这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为 (2分)可见，在及给定时与无关。粒子从点出发最后回到点的过程中，与正方形框架的边碰撞次数愈少，所经历的时间就愈少，如图所示，粒子分别与正方形框架的每边碰撞一次，回到点，由图中几何关系，可得：所需时间为(2分)

此时粒子的半径，(2分)(2分)