Question

20．如图所示，P为固定于地面的光滑四分之一圆轨道，轨道半径R=0.45m，轨道末端切线水平．A、B为紧靠轨道依次放置的木板和平板小车，A、B的长度均为l=0.8m，上表面都与P轨道末端切线平齐．一重物C（可视为质点）从圆弧轨道顶端无初速度自由下滑，已知重物C与A、B间的动摩擦因数相同，均用μ₁表示，A与地面间的动摩擦因数μ₂=0.1，小车B与地面间的摩擦可忽略不计，A、B、C质量均相同．求：（计算中可认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）若重物C滑上木板A时，A、B一起开始向右滑动，μ₁应满足什么条件？
（2）若μ₁=0.4，判断重物C最终能否停在木板A或者小车B上？若能，求出相对静止时C离所停物体左端的距离；若不能，求出重物C离开该物体时的速度．

Answer 1

分析 （1）根据滑动的条件即可求出；
（2）C在P上运动的过程中机械能守恒，由此求出C滑上A的速度；由牛顿第二定律分别求出A与C的加速度，结合运动学的公式即可求出C是否滑过A；若能滑过A，然后设C最终停在B上，由动量守恒求出它们的共同速度，最后结合功能关系即可求出．

解答 解：（1）对AB整体受力分析，在水平方向它们受到C的向右的摩擦力与地面对A的向左的摩擦力，若它们一起向右滑动，则有：
μ₁mg＞μ₂•2mg
 即：μ₁＞2μ₂=0.2
（2）设重物C到达轨道末端速度为v₀，该过程机械能守恒，则：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   
有：${v}_{0}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.45}=3$m/s
滑上木板A后，在C到达A木板右端前C匀减速阶段加速度大小记为a₁，
A、B一起匀加速运动加速度大小记为a₂，
受力分析
对C：μ₁mg=ma₁，所以：${a}_{1}={μ}_{1}g=0.4×10=4m/{s}^{2}$
对A：μ₁mg-μ₂•2mg=2ma₂，
代入数据得：${a}_{2}=1m/{s}^{2}$
设C从滑上木板A到到达A右端的时间为t，则C的位移：${s}_{C}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
A的位移：${s}_{A}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
又s_C-s_A=l
联立解得：t₁=0.4 s   t₂=0.8 s（舍去）
故此时：v_c=v₀-a₁t₁=1.4 m/s
v_A=v_B=a₂t₂=0.4 m/s
此后AB分离；
 假设最终C与小车共速，根据动量守恒定律，选取向右为正方向，设共同速度为v，
有：mv_C+mv_B=2mv，
代入数据得：v=0.9 m/s
设最终C距离B左端l′，根据功能关系有：${μ}_{1}mgl′=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
解得l′=$\frac{1}{16}$m＜0.8m，则假设成立
即重物C最终停在距离小车B左端$\frac{1}{16}$m处
答：（1）若重物C滑上木板A时，A、B一起开始向右滑动，μ₁应大于0.2；
（2）若μ₁=0.4，重物C最终与B一起运动，最终停在距离小车B左端$\frac{1}{16}$m处．

点评 本题关键是明确小滑块的运动的规律，根据牛顿第二定律求解加速度，结合运动学公式判断相对运动情况．