Question

2．如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的场强为B匀强磁场，其边界AB、CD的宽度为d，在左边界的Q点处有一质量为m，带电量大小为q的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子重力不计，求：
（1）若带电粒子能从AB边界飞出，求带电粒子在磁场中运动的最大半径R_m和时间t．
（2）若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示的匀强电场中减速至零且恰好到达两极板的中点，求极板间电压U．
（3）若带电粒子的速度是（2）中的$\sqrt{3}$倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场，则粒子能打到CD边界的范围？

Answer 1

分析 （1）先作出粒子运动的轨迹，根据几何关系求出粒子能从左边界射出时临界情况的轨道半径，根据洛伦兹力提供向心力公式即可求解最大速度；带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入匀强电场中减速至零，然后由静止返回做匀加速运动，再进入磁场做匀速圆周运动，画出轨迹，确定磁场中运动轨迹对应的圆心角，求出通过磁场的时间．
（2）根据几何知识求磁场中轨迹半径，由动能定理求极板间电压．
（3）若带电粒子的速度是（2）中的$\sqrt{3}$倍，求出轨迹半径，画出轨迹，由几何知识求粒子能打到CD边界的范围．

解答 解：（1）粒子能从左边界射出，临界情况是轨迹与磁场右边界相切，粒子的运动轨迹如图所示，则有：R+Rcos30°=d
所以R_m=$\frac{d}{1+cos30°}=\frac{d}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=2（2-\sqrt{3}）d$
因粒子转过的圆心角为60°，所用时间为$\frac{T}{6}$，而$T=\frac{2πm}{Bq}$
因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间为：$t=2×\frac{T}{6}=\frac{2πm}{3Bq}$
（2）由$Bqv=m\frac{v^2}{R}$得：$v=\frac{Bqd}{m（1+cos30°）}=\frac{{2（2-\sqrt{3}）Bqd}}{m}$
所以粒子能从左边界射出速度应满足$v≤\frac{{2（2-\sqrt{3}）Bqd}}{m}$．

粒子能从右边界射出，由几何知识得：R=$\frac{d}{cos30°}$
由$Bq{v_2}=m\frac{v_2^2}{R}$和$\frac{1}{2}mv_2^2=qU$
解得：$U=\frac{{{B^2}q{d^2}}}{{2m{{cos}^2}30°}}=\frac{{2{B^2}q{d^2}}}{3m}$
故粒子不碰到右极板所加电压满足的条件为：$U≥\frac{{2{B^2}q{d^2}}}{3m}$
（3）当粒子速度为是（2）中的$\sqrt{3}$倍时，解得 R′=2d粒子，如图
由几何关系可得：l=2×2dcos30°=2$\sqrt{3}d$
答：（1）带电粒子在磁场中运动的最大半径是$2（2-\sqrt{3}）d$和时间为$\frac{2πm}{3qB}$．
（2）极板间电压为$\frac{2{B}^{2}q{d}^{2}}{3m}$；
（3）粒子能打到CD边界的范围为2$\sqrt{3}d$．

点评 带电粒子在磁场中的运动要把握其运动规律，在磁场中要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径，画出运动轨迹，难度适中．