题目内容

1．如图甲所示，一光滑绝缘板组成的直角支架MLK，水平板LK长为l=0.91m，距离水平地面高为h=2m，竖直板ML足够长，两板连接处有一小孔．水平板上方存在E1=2$\sqrt{2}$N/C的匀强电场，电场方向与水平方向成θ角，指向右上方，θ为45°至90°的某一确定值．竖直线MQ左侧有电场和磁场（甲图中均未画出），已知竖直方向的电场E2分布在MQ左侧整个空间，与纸面垂直的磁场只分布在NP与MQ两平行线之间，区间水平宽度为d=1m，磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示，规定磁场垂直纸面向里为正方向．水平板LK上表面右边缘处有一质量m=0.1kg、电荷量q=0.1C的带负电小球，以初速度V0=0.6m/s向左对准小孔运动．通过小孔后进入左侧空间恰好作匀速圆周运动．小球刚进入磁场时记作t=0时刻．假定小球与竖直板碰撞时间极短，且无动能损失，小球可视为质点，小球电量保持不变，g=10m/s2．求：
（1）电场强度E2的大小和方向．
（2）在θ的取值范围内，小球在磁场中运动的时间最短为多少？
（3）在θ的取值范围内，小球在P点左侧的水平地面上的落点与P点的最大距离？（计算结果可以用根号表示）．

分析 （1）小球做匀速圆周运动，电场力等于重力，据此求出场强．
（2）小球在磁场中做匀速圆周运动，求出小球做圆周运动的圆心角，然后求出其运动时间．
（3）小球离开磁场后做匀速直线运动，应用匀速直线运动的规律可以求出落地点的最大距离．

解答 解：（1）小球在MQ左侧做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，即：qE2=mg，
代入数据解得：E2=10N/C，电场力竖直向上，小球带负电，场强竖直向下；
（2）小球在平台上向右做匀加速运动，由动能定理得：
qE1Lcosθ=$\frac{1}{2}$mv2-$\frac{1}{2}$mv02，45°≤θ≤90°，
代入数据解得：vmax=2m/s，
小球通过MN后的速度为：0.6m/s≤v≤2m/s，
小球在MQ右侧磁场区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
粒子做圆周运动的半径：0.15m≤R1≤0.5m，0.6m≤R2≤2m；
小球做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，T1=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{π}{2}$，T2=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=2π，
小球进入磁场后向左瞬时针方向的匀速圆周运动，运动时间：t1=$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$T1，
然后与ML碰撞，碰撞后小球速度水平向左，然后沿逆时针方向做匀速圆周运动，当小球速度最大为2m/s时逆时针做圆周运动的轨道半径最大为2m，此时小球在磁场中转过的圆心角θ最小，运动时间最短，有：sinθ=$\frac{d}{{R}_{2最大}}$=$\frac{1}{2}$，
得：θ=30°，
粒子的运动时间为：t2=$\frac{θ}{360°}$T2=$\frac{π}{6}$，
粒子的最短运动时间为：t=t1+t2=$\frac{5π}{12}$s；
（3）小球以最大速度离开磁场时落地点的水平距离最大，
vx=v最大cosθ=2cos30°=$\sqrt{3}$m/s，
vy=v最大sinθ=2sin30°=1m/s，
在竖直方向，小球所受重力与电场力合力为零，小球做匀速直线运动，有：
h+2R1最大-（R2最大-R2最大cosθ）=vyt，
解得：t=（1+$\sqrt{3}$）s，
小球在P点左侧的水平地面上的落点与P点的最大距离为：x=vxt=（3+$\sqrt{3}$）m；
答：（1）电场强度E2的大小为10N/C，方向：竖直向下．
（2）在θ的取值范围内，小球在磁场中运动的时间最短为$\frac{5π}{12}$s；
（3）在θ的取值范围内，小球在P点左侧的水平地面上的落点与P点的最大距离为（3+$\sqrt{3}$）m．

点评 本题是小球在重力场、电场与磁场的复合场中运动类型，本题粒子运动过程复杂，难度较大，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键；分析清楚粒子运动过程后，应用动能定理求出粒子的速度范围，然后应用牛顿第二定律、几何知识可以解题．

练习册系列答案
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