Question

如图甲，在x＞0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B．一质量为m，带电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O处，以初速度v₀沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力．
（1）求该粒子运动到y=h时的速度大小v；
（2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期T=

2πrn

qB

．
Ⅰ．求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离S；
Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为v₀时，其y-t图象如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A，并写出y-t的函数表达式．

Answer 1

（1）由于洛伦兹力不做功，只有电场力做功，
由动能定理有-qEh=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

①
由①式解得                     
 v=

v 20 - 2qEh m

②
（2）Ⅰ．由图乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，
即都等于恰好沿x轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距离．
设粒子恰好沿x轴方向匀速运动的速度大小为v₁，则
qv₁B=qE                            ③
又  S=v₁T                               ④
式中 T=

2πm

qB

由③④式解得                    
 S=

2πmE

qB2

⑤
Ⅱ．设粒子在y轴方向上的最大位移为y_m（图丙曲线的最高点处），对应的粒子运动速度大小为v₂（方向沿x轴），因为粒子在y方向上的运动为简谐运动，因而在y=0和y=y_m处粒子所受的合外力大小相等，方向相反，
则
qv₀B-qE=-（qv₂B-qE）          ⑥
由动能定理有     -qEym=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

20

⑦
又   Ay=

1

2

ym⑧
由⑥⑦⑧式解得                      
Ay=

m

qB

(v0-

E

B

)
可写出图丙曲线的简谐运动y-t函数表达式为y=

m

qB

(v0-

E

B

)(1-cos

qB

m

t)．