Question

12．近年来，随着人类对火星的了解越来越多，人类开始进行移民火星的科学探索，并面向全球招募“单程火星之旅”的志愿者．若某物体在火星表面做自由落体运动的时间与在地球表面同一高度处做自由落体运动的时间之比为P，已知火星半径与地球半径之比为q，不考虑星球自转的影响．求：
（1）火星表面重力加速度g₁与地球表面重力加速度g₂的比值．
（2）火星第一宇宙速度v₁与地球第一宇宙速度v₂的比值．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的位移时间关系公式h=$\frac{1}{2}$gt²列式求解重力加速度之比；
（2）第一宇宙速度是星球表面的环绕速度，重力等于向心力，根据牛顿第二定律列式求解第一宇宙速度之比．

解答 解：解：（1）根据自由落体运动的位移时间关系公式h=$\frac{1}{2}$gt²，有：
g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
解得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}$=$\frac{1}{{P}^{2}}$
（2）第一宇宙速度是星球表面的环绕速度，重力等于向心力，根据牛顿第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
已知火星半径与地球半径之比为q，$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}$=$\frac{1}{{P}^{2}}$
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{q}}{P}$，
答：（1）火星表面重力加速度g₁与地球表面重力加速度g₂的比值是$\frac{1}{{P}^{2}}$．
（2）火星第一宇宙速度v₁与地球第一宇宙速度v₂的比值是$\frac{\sqrt{q}}{P}$．

点评 本题关键是先根据自由落体运动确定重力加速度，然后结合重力等于卫星需要的向心力列式求解．