Question

如图，无限长均匀光滑金属导轨QM、ON成θ=45°角，固定放在约缘水面上，磁场竖直向下，足够长导体棒ab与ON垂直并能紧贴导轨滑动，导体棒ab和金属导轨单位长度电阻均为r．
（1）若磁场为匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab棒在水平向右的外力F作用下紧靠O点处以速度v匀速向右运动，同时开始计时，试证明通过导体棒ab的电流是定值；
（2）在（1）间中若B=1T，v=-2m/s，r=1Ω/m，求0～1s内水平外力F做的功．
（3）若t=0时起ab棒从O点在水平向右外力作用下以v=2m/s的速度向右匀速运动，同时磁感应强度要从0开始按B=k（k=0.5T/s）的规律变化，仍取r=1Ω/m，则t=2s时刻，外力的功率和电路中电功率各多大？

Answer 1

分析：（1）求出t时刻导体棒的有效长度，结合切割产生的感应电动势和闭合电路欧姆定律求出电流强度的大小，即可分析感应电流与时间有无关系．
（2）当导体棒做匀速直线运动时，水平外力等于安培力，根据平衡条件求出水平拉力，再求拉力做功．
（3）根据法拉第电磁感应定律E=

△Φ

△t

求出感生电动势，由E=BLv求出动生电动势，得到回路中总的感应电动势，即可求得电功率和外力的功率．

解答：解：（1）回路中导体棒有效的切割长度为：L=vttanθ=vt
感应电动势为：E=BLv=Bvt?v=Bv²t．
回路的总电阻为：R=（vt+vt+

2

vt）r=（2+

2

）vtr
所以回路中感应电流为：
  I=

E

R

=

Bv2t

(2+ 2 )vtr

=

Bv

(2+ 2 )r

=

(2- 2 )Bv

2r

（2）导体棒所受的安培力F_A=BIL=BIvt=B

(2- 2 )Bv

2r

vt，x=vt，则得：F_A=B

(2- 2 )Bv

2r

x，因导体棒做匀速运动，则外力F=F_A=B

(2- 2 )Bv

2r

x，所以外力与与位移为线性关系，则
当t=1s时，F=B

(2- 2 )Bv

2r

vt=1×

(2- 2 )×1×2

2×1

×2×1N=2（2-

2

）N，x=vt=2×1m=2m
0～1s内水平外力F做的功为 W=

.

F

x=

0+F

2

x=

0+2(2- 2 )

2

×2J=2（2-

2

）J
（3）t=2s时刻，回路中感生电动势为：E_感=

△Φ

△t

=

△B

△t

S=k?

1

2

(vt)2=0.5×

1

2

×（2×2）² V=4V
动生电动势为：E_动=Bv²t=1×2²×2V=8V
根据楞次定律得知两个电动势方向相同，故回路中总电动势为：E_总=E_感+E_动=12V
总电阻为：R_总=（2+

2

）vtr=（2+

2

）×2×2×1=4（2+

2

）Ω．
感应电流为：I=

E总

R总

=

12

4(2+ 2 )

A=1.5（2-

2

）A
外力的功率大小为：P_外=Fv=BIvt?v=1×1.5×(2-

2

)×2×2×2=12（2-

2

）W≈7.0W
电功率为：P_电=I²R_总=[1.5(2-

2

)]2×1.5（2-

2

）A=18（2-

2

）W≈10.5W
答：（1）证明见上．
（2）0～1s内水平外力F做的功是2（2-

2

）J．
（3）t=2s时刻，外力的功率和电路中电功率各是7W和10.5W．

点评：本题综合考查了切割产生的感应电动势、闭合电路欧姆定律、电阻定律等等知识点，综合性较强，特别是第3小题，既有感生，又有动生电动势，分别运用法拉第定律和切割式求解电动势是关键．