Question

（2009?佛山三模）新华社北京10月24日电，24日18时29分，星箭成功分离之后，嫦娥一号卫星进入半径为205公里的圆轨道上绕地球做圆周运动，卫星在这个轨道上“奔跑”一圈半后，于25日下午进行第一次变轨，变轨后，卫星轨道半径将抬高到离地球约600公里的地方．已知地球半径为R，表面重力加速度为g，质量为m的嫦娥一号卫星在地球上空的万有引力势能为E_p=

mgR2

r

，（以无穷远处引力势能为零），r表示物体到地心的距离．
（1）质量为m的嫦娥一号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做圆周运动，求此时卫星距地球地面高度h₁；
（2）要使嫦娥一号卫星上升，从离地高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动，卫星发动机至少要做多少功？

Answer 1

分析：1、卫星绕地球做圆周运动靠万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，结合万有引力等于重力求出轨道半径的大小，从而求出卫星距离地面的高度．
2、根据分别求出在离地高度h₁和h₁+h的轨道上的总机械能E₁、E₂，根据功能关系W=E₂-E₁，可计算卫星发动机至少要做的功．

解答：解：（1）设地球质量为M，万有引力恒量为G，卫星距地面高度为h₁时速度为v，
对卫星有G

Mm

(R+h1)2

=m

v2

R+h1

，对地面上物体有mg=G

Mm

R2

，
解以上两式得h1=

gR2

v2

-R．
（2）卫星在距地面高度h₁的轨道做匀速圆周运动有G

Mm

(R+h1)2

=m

v2

R+h1

，得v2=

GM

(R+h1)

∴此时卫星的动能Ek1=

1

2

mv2=

GMm

2(R+h1)

=

mgR2

2(R+h1)

，万有引力势能Ep1=-

mgR2

R+h1

，
卫星在距地面高度h₁时的总机械能E1=Ek1+Ep1=

mgR2

2(R+h1)

-

mgR2

R+h1

=-

mgR2

2(R+h1)

．
同理，卫星在距地面高度（h₁+h）时的总机械能E2=-

mgR2

2(R+h1+h)

．
由功能关系，卫星发动机至少要做功 W=E₂-E₁=

mgR2h

2(R+h1)(R+h1+h)

．
答：（1）质量为m的嫦娥一号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做圆周运动，则此时卫星距地球地面高度h₁为

gR2

v2

-R．
（2）要使嫦娥一号卫星上升，从离地高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动，则卫星发动机至少要做功为

mgR2h

2(R+h1)(R+h1+h)

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

以及万有引力等于重力这两大理论．