Question

如图所示，两根足够长固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d，导轨上面横放着两根导体棒L₁和L₂，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m，电阻都为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B．两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持L₁向上作速度为v的匀速运动，在t=0时刻将靠近L₁处的L₂由静止释放（刚释放时两棒的距离可忽略），经过一段时间后L₂也作匀速运动．已知d=0.5m，m=0.5kg，R=0.1Ω，B=1T，g取10m/s²．
（1）为使导体棒L₂向下运动，L₁的速度v最大不能超过多少？
（2）若L₁的速度v为3m/s，在坐标中画出L₂的加速度a ₂与速率v₂ 的关系图象；
（3）若L₁的速度v为3m/s，在L₂作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m，求在此时刻前L₂运动的距离．

Answer 1

分析：（1）L₁向上作匀速运动，切割磁感线产生感应电流，L₂受到向上的安培力，当L₂ 的重力大于所受的安培力时，导体棒L₂向下运动．
（2）当L₁向上运动，L₂向下运动时，回路中产生两个感应电动势，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和牛顿第二定律推导出L₂的加速度a ₂与速率v₂ 的关系式，作出图象．
（3）在L₂作匀速运动之前做变加速运动，根据加速度的定义式a=

△v

△t

，用积分法求解L₂运动的距离．

解答：解：（1）L₂刚释放时电路中电动势E₁=Bdυ
                     回路中电流I1=

E1

2R

          L₂受到的安培力F=BI₁d
          要使导体棒L₂能向下运动，则mg＞F，得  υ＜4m/s
    （2）当L₂运动速度为υ₂时，回路中电动势E=Bd（υ+υ₂）
         回路中感应电流I=

E

2R

 
         导体棒L₂的所受的安培力F=BIL=

B2L2(v+v2)

2R

          加速度a=

mg-F

m

        代入整理得 a=2.5-2.5υ₂
      作图如图．
   （3）当导体棒L₂做匀速运动时，L₁和L₂两棒的速度分别是υ和υ₂，
          由平衡条件得

B2d2(υ+υ2)

2R

=mg，得υ+υ₂=4m/s
      设当导体棒L₂、L₁的相对速度为υ_相=4m/s时，棒L₂的加速度  a=g-

B2d2υ相

2Rm

=

△v

△t

     取极短时间△t，在时间△t内速度变化△υ，
             △υ=g△t-

B2d2υ相

2Rm

△t
             则∑△υ=g∑△t-

B2d2

2Rm

∑υ相△t
            又υ_相△t=△x_相      得υ2=gt-

B2d2

2Rm

x相
      代入数据得两棒间距为x_相=4m，所用时间t=1.1s
     导体棒L₁运动的位移x₁=υt=3×1.1m=3.3m
     导体棒L₂运动的位移x₂=x_相-x₁=0.7m
答：（1）为使导体棒L₂向下运动，L₁的速度v最大不能超过4m/s．
    （2）L₂的加速度a ₂与速率v₂ 的关系图象如上图所示．
    （3）若L₁的速度v为3m/s，在L₂作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m，在此时刻前L₂运动的距离为0.7m．

点评：本题的难点在于第（3）问运用积分方法求变加速运动的位移．非匀变速运动求位移不能用中学阶段匀变速运动的公式，常采积分法求解．