Question

3．如图所示，在宽度d=0.2m的空间区域范围内存在方向竖直向上、场强大小为E=0.2N/C的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场；质量为M=0.2kg、带电量q=+10C的小球放在平台边缘上，质量m=0.1kg、长度L=$\frac{0.2}{π}$m的绝缘平板车以速度v₀=3m/s水平向右运动，与小球发生弹性正碰，小球在复合场中运动后从左边界离开；忽略一切摩擦，小球落在地面时不会反弹，取g=10m/s²，π²=10．
（1）求碰撞后平板车的速度大小v₁；
（2）若小球在空中运动的时间最长，求磁感应强度的大小B₀；
（3）若要让小球落在平板车上，求磁感应强度B的大小范围．

Answer 1

分析 （1）由题设平板车与小球发生弹性正碰，由动量定理和动能守恒列出二元二次方程，从而求出平板车碰撞后速度的大小和方向．
（2）小球进入复合场后受三个力作用，但重力与电场力恰好相等，所以小球在复合场中做匀速圆周运动，由于运动时间最长，则小球运动轨迹恰与右边界相切，由几何关系求出在复合场中的半径，由洛仑兹力提供向心力求出磁感应强度大小．
（3）在磁场中旋转半周后带电小球在重力作用下做平抛运动，若要小球落在车上，必从两种极端去考虑，即落在平板车的右端和左端，两者的区别在于带电小球的水平位移相差一个车长．由平抛运动的规律及等时性，能求出两种情况下磁感应强度的大小．

解答 解：（1）两者碰撞系统动量守恒，碰撞前后动能不变，有
  mv₀=Mv+mv₁ ①
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv²+$\frac{1}{2}$mv₁² ②
解得v₁=-1 m/s，负号表示碰撞后车向左运动      ③
（2）由（1）解得小球速度v=2 m/s     ④
 在复合场中，受电场力、重力、洛伦兹力三力作用
 电场力F=qE=2N      ⑤
 重力G=Mg=2N        ⑥
 可见电场力与重力平衡，受洛仑兹力作用，小球做匀速圆周运动．
 设运动最大半径为R，依题意有R=d      ⑦
 洛伦兹力提供向心力有 qvB₀=M $\frac{{v}^{2}}{R}$      ⑧
 解得B₀=0.2T     ⑨
（3）小球在复合场中运动时间 t₁=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$ ⑩
 离开复合场时离地高度h=2R⑪
 之后做平抛运动，设水平距离为s₀，运动时间为t₂，有
   s₀=vt₂ ⑫
    h=gt₂² ⑬
设两者碰后至球落在车右端的过程中，车的位移为s₁，运动时间为t，
则有t=t₁+t₂ ⑭
     s₁=v₁t⑮
     s₁=s₀
  联立解得B=0.25T⑯
  若球落在车的左端，设车的位移为s₂，则有
    s₂=v₁t
    s₂+L=s₀ ⑰
  联立解得B=1T⑱
  故B的取值范围为0.25T≤B≤1T 
答：（1）求碰撞后平板车的速度大小v₁为1m/s，方向向左．
（2）若小球在空中运动的时间最长，磁感应强度的大小B₀至少为0.2T．
（3）若要让小球落在平板车上，则磁感应强度B的大小范围是0.25T≤B≤1T．

点评 本题的难点在第三问：由于磁感应强度大小决定于带电小球半径的大小，所以小球在复合场中转半圈后再做平抛运动，平抛运动的时间由竖直位移2R决定，这两段时间内平板车以v1的速度做匀速直线运动，最后代入水平位移相等的关系式从而求出磁感应强度的两种极端情况，从而确定范围．