Question

如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=3m，现有一个质量m=0.1kg的小物块P从斜面AB上端A点无初速下滑，物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为μ=0.25．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物块P第一次通过C点时的速度大小和在C点处对轨道的压力；
（2）物块P经过D点的次数．

Answer 1

分析：（1）对A到C的过程运用动能定理，求出物块第一次通过C点的速度大小，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出在C点对轨道的压力．
（2）根据动能定理求出通过B点速度的通项表达式，若物块不能到达D点，则在B点的动能小于CD间的重力势能之差，结合该关系求出物块P经过D点的次数．

解答：解：（1）物块P从A下滑经B到C过程中根据动能定理：

1

2

m

v

2 C

=mgLsin37°+mgR(1-cos37°)-μmgcos37°?L
解得vC=

2gL(sin37°-μcos37°)+2gR(1-cos37°)

代入数据得，vC=

26

m/s
又因为：m

v 2 C

R

=FC-mg
FC=m

v 2 C

R

+mg=6.2N
由牛顿第三定律知，对C处的压力F_C′=F_C=6.2N．
（2）第一次过B点向下的速度v_B1，第一次返回B点向上的速度大小也为v_B1，冲至最高点A₁，设A₁至B的距离为L₁
A 至 B：mgLsin37°-μmgcos37°?L=

1

2

m

v

2 B1

B至A₁：-mgL1sin37°-μmgcos37°?L1=0-

1

2

m

v

2 B1

得：L1=

sin37°-μcos37°

sin37°+μcos37°

L．
同理，第n次返回最高处A_n时，A_nB的距离L_n
Ln=(

sin37°-μcos37°

sin37°+μcos37°

)nL=

1

2n

L
第n次向下过B点的速度v_Bn
从A_n-1至B：mgLn-1?sin37°-μmgcos37°?Ln-1=

1

2

m

v

2 Bn

得：vBn=

2g(sin37°-μcos37°)Ln-1

假设物块以v_Bn向下过B点后不能到达D，则有：

1

2

m

v

2 Bn

＜mgRcos37°
得L_n-1＜1
即

1

2n-1

L＜1，显然n取3、4、5…，滑块不能达到D点
也即当n取2时，滑块能过D点，所以，滑块共经过D点4次． 
答：（1）物块P第一次通过C点时的速度大小为

26

m/s．在C点处对轨道的压力为6.2N．
（2）物块P经过D点的次数为4次．

点评：解决本题的关键理清物块的运动过程，结合动能定理进行求解，本题对数学能力的要求较高，知道物块不能到达D点的条件，结合数学知识进行求解．