Question

如图所示，在以O为圆心，半径为R的圆形区域内，有一个水平方向的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外．竖直平行正对放置的两金属板A、K连在电压可调的电路中． S₁、S₂为A、K板上的两个小孔，且S₁、S₂和O在同一直线上，另有一水平放置的足够大的荧光屏D，O点到荧光屏的距离h．比荷（电荷量与质量之比）为k的带正电的粒子由S₁进入电场后，通过S₂射向磁场中心，通过磁场后落到荧光屏D上．粒子进入电场的初速度及其所受重力均可忽略不计．
（1）请分段描述粒子自S₁到荧光屏D的运动情况．
（2）求粒子垂直打到荧光屏上P点时速度的大小；
（3）调节滑片P，使粒子打在荧光屏上Q点，PQ=

3

3

h（如图所示），求此时A、K两极板间的电压．

Answer 1

分析：（1）粒子在电场中自S₁至S₂做匀加速直线运动；自S₂至进入磁场前做匀速直线运动；进入磁场后做匀速圆周运动；离开磁场至荧光屏做匀速直线运动
（2）洛伦兹力对粒子不做功，故打到屏上的速度等于刚出电场的速度
（3）使粒子打在荧光屏上Q点，由洛伦兹力提供向心力得，粒子圆周运动的半径变大时，其入射速度应变大，由几何关系解得半径，由牛顿第二定律列方程解得入射速度，由动能定理得到加速电压

解答：解：（1）粒子在电场中自S₁至S₂做匀加速直线运动；自S₂至进入磁场前做匀速直线运动；进入磁场后做匀速圆周运动；离开磁场至荧光屏做匀速直线运动
（2）设粒子的质量为m，电荷量为q，垂直打在荧光屏上的P点时的速度为v₁，粒子垂直打在荧光屏上，说明粒子在磁场中的运动是四分之一圆周，运动半径r₁=R
根据牛顿第二定律
Bqv₁=

mv 2 1

r1

，
依题意：k=

q

m

解得：v₁=BkR 
（3）设粒子在磁场中运动轨道半径为r₂，偏转角为2，粒子射出磁场时的方向与竖直方向夹角为α，粒子打到Q点时的轨迹如图所示，由几何关系可知

tanα=

PQ

h

=

3

3

，α=30°，θ=30°
tanθ=

R

r2

 解得：r2=

3

R
设此时A、K两极板间的电压为U，设粒子离开S₂时的速度为v₂，根据牛顿第二定律
Bqv₂=

mv 2 2

r2

根据动能定理有   qU=

1

2

mv

2 2

解得：U=

3

2

KB²R²
答：（1）粒子在电场中自S₁至S₂做匀加速直线运动；自S₂至进入磁场前做匀速直线运动；进入磁场后做匀速圆周运动；离开磁场至荧光屏做匀速直线运动
（2）粒子垂直打到荧光屏上P点时速度为v₁=BkR
（3）此时A、K两极板间的电压为U=

3

2

KB²R²

点评：本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及牛顿第二定律公式．