Question

质量为m=1kg的小木块（可看成质点），放在质量为M=5kg的长木板的左端，如图所示．长木板放在光滑的水平桌面上．小木块与长木板间的动摩擦因数μ=0.1，长木板的长度l=2m．系统处于静止状态．现使小木块从长木板右端脱离出来，可采取下列两种方法：（g取10m/s²）
（1）给小木块施加水平向右的恒定外力F，F作用时间t=2s．则F至少是多大？
（2）给小木块一个水平向右的冲量I，则冲量I至少是多大？

Answer 1

分析：（1）给小木块施加水平向右的恒定外力F，小木块向右做匀加速运动，长木板也向右做匀加速运动，撤去F后木块向右做功匀减速运动，木板继续向右做匀加速运动，当木块恰好滑到木板的右端时，木块与木板的位移之差等于板长，两者速度相等．根据动量定理、能量守恒定律和位移关系结合求解F的大小；
（2）给小木块一个水平向右的冲量I，使木块获得一个初速度，当木块恰好滑到木板的右端时，两者速度相等时，I最小．根据动量定理、系统的动量守恒和能量守恒求解I的最小值．

解答：解：（1）设F刚撤去时，木块与木板的速度分别为v₁和v₂，当木块恰好滑到木板的右端时，两者共同速度为v．
对于F作用过程，根据动量定理得：
   对整体：Ft=mv₁+Mv₂ ①
   对木板：μmgt=Mv₂    ②
 此过程木块在木板滑行的距离S₁=

v1t

2

-

v2t

2

   ③
对整体过程有，Ft=（m+m）v  ④
对于撤去F到木块滑到木板右端的过程，设木块相对于木板滑行的距离为S₂，根据能量守恒定律得
  μmgS₂=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

-

1

2

(m+M)v2   ⑤
又S₁+S₂=l，⑥
联立以上6式，解得，F=1.85N
（2）当木块恰好滑到木板的右端时，两者速度相等，I最小，则由系统动量守恒
  mv₀=（m+M）v₁
解得v1=

1

6

v0
由能量守恒得  μmgl=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(M+m)

v

2 1

解得v0=

4.8

m/s
由动量定理得 I=mv0=

4.8

N?s
答：（1）给小木块施加水平向右的恒定外力F，F作用时间t=2s．F至少是2.2N；
（2）给小木块一个水平向右的冲量I，则冲量I至少是

4.8

N?s．

点评：第1题的解题关键是抓住木块与木板的位移关系；第2题关键是抓住隐含的临界状态：木块恰好滑到木板的右端时，两者速度相等，根据动量守恒和能量守恒结合求解．