题目内容
如图所示，质量为M=2Kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上．M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m=0.4Kg的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态．假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为重力的0.3倍．（g取10m/s2），试问：（1）平台转速由零增大时，M受到的摩擦力如何变化？
（2）M受到的摩擦力最小时，平台的角速度ω0等于多少？
（3）保持M与平台相对静止，平台的最大角速度ωm等于多少？
分析：（1）当角速度较小时，由于细绳的拉力作用，M有向圆心运动趋势，静摩擦力方向背离圆心；当角速度较大时，静摩擦力方向指向圆心；对于M，由静摩擦力和拉力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律列式分析；
（2）M受到的摩擦力最小为零，仅由绳子的拉力提供向心力，列式求解角速度ω0．
（3）当角速度最大时，M有离开圆心趋势，静摩擦力方向指向圆心方向，并且达到最大值，由最大静摩擦力与细绳拉力的合力提供M的向心力．根据牛顿第二定律求解最大角速度ωm．
（2）M受到的摩擦力最小为零，仅由绳子的拉力提供向心力，列式求解角速度ω0．
（3）当角速度最大时，M有离开圆心趋势，静摩擦力方向指向圆心方向，并且达到最大值，由最大静摩擦力与细绳拉力的合力提供M的向心力．根据牛顿第二定律求解最大角速度ωm．
解答：解：（1）当角速度较小时，M有向圆心运动趋势，故水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，对于M，由静摩擦力和拉力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律得：
T-f=Mω2r，而T=mg不变，当ω增大时，摩擦力f减小；
当角速度较大时，M有离开圆心的运动趋势，故水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，对于M，由静摩擦力和拉力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律得：
T+f=Mω2r，而T=mg不变，当ω增大时，摩擦力f增大；
故平台转速由零增大时，M受到的摩擦力先减小后增大．
（2）M受到的摩擦力最小为零，仅由绳子的拉力提供向心力，则得：
T=Mω02r
又 T=mg
联立得：ω0=
=
rad/s=2rad/s
（3）当ω具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，并且达到最大值．
再隔离M有：
T+fm=Mωm2r
而fm=0.3Mg，T=mg
联立得：ωm=
=
rad/s=
rad/s
答：（1）平台转速由零增大时，M受到的摩擦力先减小后增大．（2）M受到的摩擦力最小时，平台的角速度ω0等于2rad/s．（3）保持M与平台相对静止，平台的最大角速度ωm等于
rad/s．
T-f=Mω2r，而T=mg不变，当ω增大时，摩擦力f减小；
当角速度较大时，M有离开圆心的运动趋势，故水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，对于M，由静摩擦力和拉力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律得：
T+f=Mω2r，而T=mg不变，当ω增大时，摩擦力f增大；
故平台转速由零增大时，M受到的摩擦力先减小后增大．
（2）M受到的摩擦力最小为零，仅由绳子的拉力提供向心力，则得：
T=Mω02r
又 T=mg
联立得：ω0=
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（3）当ω具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，并且达到最大值．
再隔离M有：
T+fm=Mωm2r
而fm=0.3Mg，T=mg
联立得：ωm=
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答：（1）平台转速由零增大时，M受到的摩擦力先减小后增大．（2）M受到的摩擦力最小时，平台的角速度ω0等于2rad/s．（3）保持M与平台相对静止，平台的最大角速度ωm等于
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点评：本题分析静摩擦力的方向，确定向心力的来源是关键，考查应用牛顿定律处理临界问题的能力．当物体将滑动时，静摩擦力达到最大值．
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