Question

（2011?黄浦区一模）单摆，是理想化的力学模型之一．当单摆的最大摆角在0到10°区间时，单摆的运动非常接近简谐运动．某一单摆，其振动过程中最大偏角θ=5°，摆球经过平衡位置时，摆球的速度大小为0.2m/s，摆球的平衡位置距地面高为h=0.8m．（已知sin5°=0.087，cos5°=0.996，g取10m/s²）求：
（1）此单摆的运动周期；
（2）若摆球经过平衡位置时细绳恰巧断裂，摆球的落地速度．

Answer 1

分析：1、摆球摆动过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解出摆长；然后根据周期公式求解周期．
2、摆球经过平衡位置时细绳断裂后，做平抛运动．现根据自由落体的规律求出落地时竖直方向上的速度，根据勾股定理合成出实际速度，并求出方向．

解答：解：（1）设摆球质量为m，摆长为L，由机械能守恒定律得mgL(1-cos5°)=

1

2

mv2
代入数据得：L=

v2

2g(1-cos50)

=0.5m
由单摆的周期公式T=2π

L g

代入解得T=2π

0.5 10

s=

5

5

πs=1.4s
（2）摆球经过平衡位置时细绳断裂后，做平抛运动．
小球在竖直方向上做自由落体运动，所以落地时竖直方向的速度v⊥=

2gh

=

2×10×0.2

m/s=2m/s
根据勾股定理，摆球的落地速度v=

v 2 0 + v 2 ⊥

=

0.22+22

m/s=2.01m/s
设方向与水平夹角为θ，tanθ=

v⊥

v0

=

2

0.2

=10
得：θ=tan^-110≈84.3⁰．
答：（1）此单摆的运动周期为1.4s；
（2）若摆球经过平衡位置时细绳恰巧断裂，摆球的落地速度大小为2.01m/s，与水平方向的夹角为84.3⁰．

点评：本题关键先根据机械能守恒定律列式求解摆长，然后根据周期公式求解周期．根据平抛运动求落体速度．综合能力要求较强，属于中档题．