Question

某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图甲所示，F₁、F₂是椭圆轨道的两个焦点，太阳在焦点F₁上，A、B两点是焦点F₁和F₂的连线与椭圆轨道的交点．已知A到F₁的距离为a，B到F₁的距离为b，则行星在A、B两点处的速率之比是多少？

Answer 1

答案：
解析：

　　结合开普勒第二定律与数学几何知识求解．

　　方法一：根据开普勒行星运动的第二定律，设在时间Δt内，行星在A、B两点处与太阳连线所扫过的面积相等，如乙图中的阴影部分所示．当Δt很小时，则行星运动轨道的弧线很短，可认为是线段，阴影部分的形状可近似为直角三角形，所以有

　　得．

　　方法二：行星在椭圆轨道上A、B两点的速度方向均与万有引力方向垂直，故万有引力提供向心力．设R_a、R_b为A、B两点的曲率半径．

　　　①

　　　②

　　由A、B两点的对称性，说明R_A＝R_B

　　故①÷②得

提示：

　　方法一利用了开普勒行星运动第二定律，此处应用了微元法．

　　方法二利用了椭圆轨道A、B两个对称点的曲率半径相等．不少学生容易错误地认为A点处的半径为a，B点处的半径为b，从而得出了的错误结果．