Question

如图所示，带电平行金属板相距为2R，在两板间半径为R的圆形区域内有垂直绑面向里的勻强磁场，磁感应强度为B，两板及其上侧边缘连线均与磁场边界刚好相切．一带电粒子（不计重力）沿两板间中心线O₁O₂从O₁点竖直向下以某一速度射入，沿直线通过圆形磁场、电场复合区域，然后恰好从左极板下边缘飞出，在极板间运动的时间为t₀．若仅撤去磁场，该粒子仍从O₁点以相同的速度射入，经

t0

2

时间打到极板上．
（1）试判断该粒子带何种电荷；
（2）求两极板间电压U；
（3）若两极板不带电，保持磁场不变，带电粒子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使带电粒子不打在极板上，粒子的速度应满足什么条件？（已知sin2θ=2sinθ，tanθ=

2tan θ 2

1-tan2 θ 2

）

Answer 1

分析：（1）“沿直线通过圆形磁场、电场复合区域，然后恰好从左极板下边缘飞出”说明带电粒子电场力和洛伦兹力平衡，所受 电场力水平向左，由此可判电荷性质；
（2）沿直线通过圆形磁场、电场复合区域，说明带电粒子电场力和洛伦兹力平衡，根据平衡即可求出电压；
（3）带电粒子先做匀速圆周运动，出磁场后做匀速直线运动，临界是恰好从右板下边缘或上边缘用，几何关系可求出半径，然后利用牛顿第二定律即可求出两个临界速度．

解答：解：（1）由题意知：带电粒子从左极板下边缘飞出，该粒子受水平向左的电场力，与电场方向相同，所以粒子带正电
（2）设粒子从O₁点射入的速度为V₀，极板长为L
在复合场做匀速直线运动：q

U

2d

=qv0B               ①
在电场中做类平抛运动：竖直方向；L-2R=v₀t     ②
水平方向：R=

1

2

qE

m

t2      ③
又  L=v₀t₀           ④
撤去磁场，仅受电场力，则：R=

1

2

qE

m

(

t0

2

)2         ⑤
①→⑤联立得    t=

t0

2

    L=4R
v0=

4R

t0

      U=

8R2B

t0

             ⑥
（3）设粒 子恰好右极板上边缘飞出时的偏转角为α，此时粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r₁，有几何关系可知：

α=

π

4

    r1+

2

r1=R          ⑦
由①⑤得，

qE

m

=

qv0B

m

=

8R

t02

         ⑧
  由洛伦兹力提供向心力得：qvB=m

v2

r1

    ⑨
⑦⑨联立得：v=

2( 2 -1)R

t0

所以，粒子从两极板上端口飞出的条件为：0＜v＜

2( 2 -1)R

t0

若粒子恰好从右板下边缘飞出时速度的偏转角为θ，此时粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r₂，
o2 
由几何关系知  tanθ=

R

3R

=

1

3

tan

θ

2

=

R

r2

               ⑩
由公式tanθ=

2tan θ 2

1-(tan θ 2 )2

可得：tan

θ

2

=

10

-3    
所以r2=

R

10- 3

=(10+

3

)R
由qvB=m

v2

r2

得：v=

qBr2

m

=

2(10+3)R

t0

所以粒子从两极板下端出口飞出的条件为 v＞

2(10+3)R

t0

综上所述．欲使粒子不打在极板上，射入的速度满足的条件为0＜v＜

2( 2 -1)R

t0

或v＞

2(10+3)R

t0

答：（1）该粒子带带正电
（2）两极板间电压U=

8R2B

t0

（3）欲使粒子不打在极板上，射入的速度满足的条件为0＜v＜

2( 2 -1)R

t0

或v＞

2(10+3)R

t0

点评：解决带电粒子在复合场中的运动，关键是抓住题目中的突破口．粒子在磁场中圆周运动问题处理的基本方法是画轨迹，往往从分析边界情况，得到临界速度．常常用到几何和三角知识求解半径．