某星球半径为R=6×106m.假设该星球表面上有一倾角为θ=30°的固定斜面.一质量为m=1kg的小物块在力.作用下从静止开始沿斜面向上运动.力F始终与斜面平行.如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.力F随位移x变化的规律如图乙所示(取沿斜面向上的方向为正向).如果小物块运动12m时速度恰好为零.已知万有引� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．某星球半径为R=6×10⁶m，假设该星球表面上有一倾角为θ=30°的固定斜面，一质量为m=1kg的小物块在力，作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行，如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，力F随位移x变化的规律如图乙所示（取沿斜面向上的方向为正向），如果小物块运动12m时速度恰好为零，已知万有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．试求：（计算结果保留一位有效数字）

（1）该星球表面上的重力加速度g的大小；
（2）该星球的平均密度．

分析（1）由图可知，读出力的大小的大小．分前后两段位移根据动能定理求出重力加速度；
（2）物体在星球上，重力等于万有引力，列式求出该星球的质量，根据密度公式求解星球的平均密度．

解答解：（1）令该星球表面的重力加速度为g，根据动能定理，小物块在力F₁作用过程中有：
N=mgcosθ
f=μN$μmgcos30°=\frac{\sqrt{3}}{3}mg×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}mg$
小物块在力F₂作用过程中有：
由题图可知：F₁=15N，s₁=6m；F₂=3N，s₂=6m

所以根据动能定理有：
W_F+W_f+W_G=△E_k
代入数据：
$15×6+（-3×6）+（-\frac{mg}{2}×12）+（-mg×12×\frac{1}{2}$）=0
解得：g=6m/s²
（2）在星球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球的质量为：
$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$
可得星球的密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πGR}$=$\frac{3×6}{4×3.14×6.67×1{0}^{-11}×6×1{0}^{6}}kg/{m}^{3}$=4×10³kg/m³
答：（1）该星球表面上的重力加速度g的大小为6m/s²；
（2）该星球的平均密度为4×10³kg/m³．

点评本题是动能定理的综合运用，第（2）问掌握在星球表面重力与万有引力相等，并掌握球的体积公式是解决问题的关键．

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