Question

如图是某游乐场的一种过山车的简化图，过山车由倾角为θ的斜面和半径为R的光滑圆环组成0．假设小球从A处由静止释放，沿着动摩擦因数为μ的斜面运动到B点（B为斜面与圆环的切点），而后沿光滑圆环内侧运动，若小球刚好能通过圆环的最高点C，求：（重力加速度为g）         
（1）小球沿斜面下滑的加速度的大小；
（2）斜面的长度至少为多大．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求解小球沿斜面下滑的加速度的大小．
（2）小球刚好能通过圆环的最高点C，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求出小球经过C点时的速度，对全过程运用动能定理可求出斜面的长度．

解答：解；（1）由牛顿第二定律得
   mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得 a=g（sinθ-μcosθ）
（2）设斜面的最小长度为L．小球在最高点C时，由牛顿第二定律得
  mg=m

v 2 C

R

对全过程，根据动能定理得
mg[Lsinθ-R（1+cosθ）]-μmgcosθ=

1

2

m

v

2 C

联立上两式得，L=

3+2cosθ

2(sinθ-μcosθ)

R
答：
（1）小球沿斜面下滑的加速度的大小是g（sinθ-μcosθ）；
（2）斜面的长度至少为

3+2cosθ

2(sinθ-μcosθ)

R．

点评：本题是牛顿第二定律、向心力和动能定理的综合应用，考查综合应用物理知识解决力学综合题的能力．