Question

15．回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示．它的核心部分是两个D形金属盒，两盒相距很近（缝隙的宽度远小于盒半径），分别和高频交流电源相连接，使带电粒子每通过缝隙时恰好在最大电压下被加速．两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，带电粒子在磁场中做圆周运动，粒子通过两盒的缝隙时反复被加速，直到最大圆周半径时通过特殊装置被引出．若D形盒半径为R，所加磁场的磁感应强度为B．设两D形盒之间所加的交流电压的最大值为U，被加速的粒子为α粒子，其质量为m、电量为q．α粒子从D形盒中央开始被加速（初动能可以忽略），经若干次加速后，α粒子从D形盒边缘被引出．求：
（1）α粒子被加速后获得的最大动能E_k；
（2）α粒子在第n次加速后进入一个D形盒中的回旋半径与紧接着第n+1次加速后进入另一个D形盒后的回旋半径之比；
（3）α粒子在回旋加速器中运动的时间；
（4）若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核获得与α粒子相同的动能，请你通过分析，提出一个简单可行的办法．

Answer 1

分析 （1）加速后的最大动能取决于轨道最大半径，根据洛伦力充当向心力可求得最大速度，则可求得最大动能；
（2）根据加速次数利用电场力做功可求得加速后动能，再根据半径公式进行分析，从而求出半径之比；
（3）根据最大动能可求得加速次数，再根据磁场中转动的周期公式即可求得总时间；
（4）根据最大动能表达式进行分析，明确要想使氘核获得与α粒子相同的动能应采取的措施．

解答 解：
（1）α粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能．设此时的速度为v，有：$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$①；
可得$v=\frac{qBR}{m}$．
α粒子的最大动能E_k=$\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$
（2）α粒子被加速一次所获得的能量为qU，α粒子被第n次和n+1次加速后的动能分别为${E_{kn}}=\frac{1}{2}mv_n^2=\frac{{{q^2}{B^2}R_n^2}}{2m}=nqU$②；
${E_{kn+1}}=\frac{1}{2}mv_{n+1}^2=\frac{{{q^2}{B^2}R_{n+1}^2}}{2m}=（n+1）qU$③
由于转动半径R=$\frac{mv}{Bq}$
所以半径与$\sqrt{{E}_{k}}$成正比
可得　　$\frac{R_n}{{{R_{n+1}}}}=\sqrt{\frac{n}{n+1}}$④
（3）设α粒子被电场加速的总次数为a，则：E_k=$aqU=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$⑤
可得：a=$\frac{{{q^{\;}}{B^2}{R^2}}}{2mU}$⑥
α粒子在加速器中运动的时间是α粒子在D形盒中旋转a个半圆周的总时间t．${t_{\;}}=a\frac{T}{2}$⑦；　
$T=\frac{2πm}{qB}$⑧
解得：$t=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
（4）加速器加速带电粒子的能量为E_k=$\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$，
由α粒子换成氘核，有$\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}=\frac{{{{（\frac{q}{2}）}^2}B_1^2{R^2}}}{{2（\frac{m}{2}）}}$，则${B_1}=\sqrt{2}B$，即磁感应强度需增大为原来的$\sqrt{2}$倍；
高频交流电源的周期$T=\frac{2πm}{qB}$，由α粒子换为氘核时，交流电源的周期应为原来的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$倍 
故可以将磁感应强度需增大为原来的$\sqrt{2}$倍，同时应将交流电源的周期应为原来的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$倍 
答：（1）α粒子被加速后获得的最大动能E_k为$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$
（2）α粒子在第n次加速后进入一个D形盒中的回旋半径与紧接着第n+1次加速后进入另一个D形盒后的回旋半径之比为$\sqrt{\frac{n}{n+1}}$
（3）α粒子在回旋加速器中运动的时间为$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$
（4）若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核获得与α粒子相同的动能，可以将磁感应强度需增大为原来的$\sqrt{2}$倍，同时应将交流电源的周期应为原来的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$倍

点评 本题考查带电粒子在加速器中的运动规律，实质上是带电粒子在磁场中的偏转和电场中加速问题的应用，要注意明确加速的最大动能取决于最大半径，而不是加速电场，同时明确在磁场中转动的时间与速度无关，均为定值．