Question

如图，水平地面上竖直放置一高h/2的细管．在管口上方空间内有水平向左的匀强电场（在管口下方空间没有电场）．从距地高为h处，水平抛出一质量为m，带有正电q的小球，抛出点到细管管口的水平距离为L，要使小球恰好落入管口且无碰撞的通过管子到达地面（管的内径略大于球的直径）求（空气阻力忽略不计）：
（1）抛出小球的初速度v₀；
（2）匀强电场的场强E；
（3）小球落地时的速率v．

Answer 1

分析：小球抛出后，竖直方向在重力作用下做自由落体运动，水平方向在电场力作用下做匀减速直线运动，在竖直方向下落

1

2

h的时间里，小球在水平方向产生的位移L，速度减为0，根据分运动与合运动等时性可以求出小球抛出时的初速度v0，小球在抛出到落到管中的过程中中有重力和电场力做功，可以求出电场力在这一过程中所做的功，根据电场力做功的表达式可以求出电场强度E；从小球抛出至小球落地，整个过程中使用动能定理可以求出小球落地时的速率．

解答：解：（1）根据题意知，小球恰好落入管口且无碰撞碰撞通过管子，说明小球落到管口时水平分速度恰好为0．
所以：小球在竖直方向中受重力作用，且没有初速度，故在竖直方向做自由落体运动，水平方向只受电场力作用，小球在电场力作用下做匀减速直线运动，根据运动的合成与分解知：
竖直方向：

h

2

=

1

2

gt2    ①
水平方向：L=

v0

2

t      ②
由①得t=

h g

把t=

h g

代入②得v0=

2L

h g

=2L

g h

（2）在小球抛出至小球落到管口的过程中只有重力和电场力做功
小球下落到管口时，水平方向速度恰好为0，则此时小球速度v等于竖直方向的分速度即：
v=v_y=gt=g

h g

=

hg

                 ③
根据动能定理有：WG+WE=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

             ④
WG=mg

h

2

                ⑤
W_E=-EqL                ⑥
由③④⑤⑥可得E=

2mgL

qh

（3）令小球落地时的速度为v′则小球从抛出至落地的全过程中使用动能定理有：
mgh+(-EqL)=

1

2

mv′2-

1

2

mv02
代入E=

2mgL

qh

，v₀=2L

g h

，可得v′=

2gh

答：（1）抛出小球的初速度v₀=2L

g h

；
（2）匀强电场的场强E=

2mgL

qh

；
（3）小球落地时的速率v′=

2gh

．

点评：根据题意知，小球与管无碰撞可知小球落在管口时的水平方向速度为0，分析小球在运动过程中的受力情况并判断小球受力所做功，选择过程使用动能定理求解即可．