Question

18．如图所示电路中，电源电压U恒定，Ⅰ和Ⅱ是电阻箱，Ⅲ是定值电阻．调节两电阻箱Ⅰ、Ⅱ的阻值R₁、R₂，但保持R₁与R₂之和不变，当R₁=R₂时，安培表A的示数为0.4A，伏特表V₁和V₂的示数分别为4V和9V．求：
（1）R₁与R₂之和；
（2）定值电阻Ⅲ的阻值R₃．
（3）调节电阻箱的过程中，安培表A的示数会发生变化．分别求出安培表A的示数最大和最小时，电阻箱Ⅰ的阻值．

Answer 1

分析 （1）在题设条件下，电阻箱Ⅰ的电压和电流已知了，由欧姆定律求其电阻，再由R₁=R₂，得到R₂．即可求解．
（2）由欧姆定律求出通过电阻箱Ⅱ的电流，即可得到通过定值电阻的电流，再由欧姆定律求解R₃．
（3）当两个电阻箱阻值分别为R₁和R₂=20-R₁时，根据并联电路的分流规律得到安培表A的示数与R₁的表达式，再由数学知识分析即可．

解答 解：（1）在题设条件下，电阻箱Ⅰ的阻值为：R₁=$\frac{{U}_{1}}{{I}_{1}}$=$\frac{4}{0.4}$Ω=10Ω
按题意有：R₂=R₁=10Ω
则得：R₁+R₂=20Ω
（2）通过电阻箱Ⅱ的电流为：I₂=$\frac{{U}_{2}-{U}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{9-4}{10}$A=0.5A
通过定值电阻的电流为：I₃=I₂-I₁=（0.5-0.4）A=0．lA
定值电阻的阻值为：R₃=$\frac{{U}_{1}}{{I}_{3}}$=$\frac{4}{0.1}$Ω=40Ω
（3）当两个电阻箱阻值分别为R₁和R₂=20-R₁时，设安培表的示数为I₁，有：
I₁=I_总$\frac{{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{{U}_{2}}{\frac{{R}_{1}{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}+{R}_{2}}$×$\frac{{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{360}{-{R}_{1}^{2}+20{R}_{1}+800}$=$\frac{360}{-（{R}_{1}-2）^{2}+900}$
可知，当R₁=0Ω或R₁=20Ω时，安培表示数有最大值．当R₁=10Ω时，安培表示数有最小值．
答：（1）R₁与R₂之和为20Ω；
（2）定值电阻Ⅲ的阻值R₃为40Ω．
（3）当R₁=0Ω或R₁=20Ω时，安培表示数有最大值．当R₁=10Ω时，安培表示数有最小值．

点评 解决本题的关键要搞清电路的连接关系，掌握并联电路的分流规律和串联电路的分压规律，并能运用数学上函数法求极值问题．