Question

如图甲所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l=0.5m，两导轨的左端连接有阻值R=1Ω的电阻，其框架平面与水平面成30°角；置于导轨上、与导轨接触良好的金属杆ab的质量m=0.1kg，电阻r=0.25Ω；整个装置处于磁感应强度B=1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于框架平面向下．今在t=0时刻，对金属杆施一平行于框架平面向上且与杆垂直的外力F，使之由静止开始运动，运动过程中，绘出的理想电流表A前6s内的示数I随时间t变化的关系如图乙所示．（g取10m/s²）

（1）请你推导出前4s内金属杆的速度v随时间t变化的函数关系式；
（2）求t=5s时，外力F的瞬时功率；
（3）在图丙中作出前6s内外力F随时间t变化的函数图象．

Answer 1

分析：（1）由乙图看出，前4s内，i与t成正比，由数学知识可写出i与t的关系式，由e=BLv和闭合电路欧姆定律求出刻杆ab的速度v随时间t变化的函数式．
（2）根据速度-时间关系式，分析杆ab的运动性质，由速度公式求出杆的加速度大小．杆向上运动的过程中，由牛顿第二定律列式外力的瞬时功率P的大小．
（3）分别对前4s内和后2s内金属杆受力分析，求出外力与时间t的函数关系式，从而做出外力F与时间t的函数图象．

解答：解：（1）前4 s内，金属杆切割磁感线产生的感应电动势为：E=Blv     …①
由闭合电路欧姆定律可知A的示数：I=

E

R+r

=

Blv

R+r

      …②
而由图乙可知：I=kt（其中k=0.2A/s）     …③
由②③式得：v=

k(R+r)

Bl

t=0.5t     …④
由④式可知．随v时间t均匀增大，所以金属杆做匀加速直线运动，其中加速度为：a=0.5 m/s²
（2）同理，后2s内由图乙可知：I′=0.8-k′t′（其中k′=0.4 A/s）    …⑤
由②⑤式得：v′=

(0.8-k′t′)(R+r)

Bl

=2-t′…⑥
由⑥式可知v′随时间t′均匀减小，所以金属杆做匀减速直线运动其中加速度：a′=1m/s²
t=5s（即t′=1s）时，由⑤式得I′=0.4 A，由⑥式得：v′=1 m/s     
安培力：F_安=BIl=0.2N 
再由牛顿第二定律有：F安-mgsin30°-F=ma′…⑦
故：F=F安+mgsin30°-ma′=0.6N
所以F的瞬时功率为P=Fv′=0.6 W    
（3）前4 s内，由牛顿第二定律有：F-mgsin30°-F_安=ma
得：F=0.55+0.1t   …⑧
图线为直线，t=0时，F₁=0.55 N，t=4 s时，F₂=0.95 N            
后2 s内，由牛顿第二定律有：mgsin30°+

F

′ 安

-F′=ma′、
得：F′=0.8-0.2t′…⑨
图线为直线，t'=0（即t=4 s）时，有：

F

′ 1

=0.8N，t′=2s（即t=6 s）时，得：

F

′ 2

=0.4N
根据以上分析，作出F-t图象 见答图    
答：（1）前4s内金属杆的速度v随时间t变化的函数关系式v=0.5t；
（2）t=5s时，外力F的瞬时功率0.6W；
（3）前6s内外力F随时间t变化的函数图象如上图所示．

点评：本题首先要运用数学知识写出电流与时间的关系，还考查了牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式．