Question

17．同步卫星离地心距离为r，运行速度为v₁，加速度为a₁，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a₂，线速度为v₂．第一宇宙速度为v₃，第一宇宙速度对应的向心加速度为a₃，地球半径为R，求：
a₁：a₂：a₃=rR²：{R³：r³R³：r³；v₁：v₂：v₃=r$\sqrt{R}$：$\sqrt{{R}^{3}}$：$\sqrt{{r}^{3}}$．

Answer 1

分析 同步卫星的角速度和地球自转的角速度相等，根据a=rω²得出物体随地球自转的向心加速度与同步卫星的加速度之比．
根据万有引力提供向心力求出线速度与轨道半径的关系，从而求出近地卫星和同步卫星的线速度之比．

解答 解：同步卫星的角速度和地球自转的角速度相等，根据a=rω²得：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{r}{R}$；
根据万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，得：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{3}}$=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$；
因此a₁：a₂：a₃=rR²：{R³：r³R³：r³；
同步卫星的角速度和地球自转的角速度相等，由v=ωr得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{r}{R}$，
而根据万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ 得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{3}}$=$\sqrt{\frac{R}{r}}$，
因此$\frac{{v}_{2}}{{v}_{3}}$=（$\frac{R}{r}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$，
则v₁：v₂：v₃=r$\sqrt{R}$：$\sqrt{{R}^{3}}$：$\sqrt{{r}^{3}}$
故答案为：rR²：{R³：r³R³：r³，r$\sqrt{R}$：$\sqrt{{R}^{3}}$：$\sqrt{{r}^{3}}$．

点评 解决本题的关键知道同步卫星的特点，以及掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．