Question

18．已知某行星的质量是地球质量的p倍，直径是地球直径的q倍．现假设有一艘宇宙飞船在该星球表面附近做匀速圆周运动，则下列判断正确的是（　　）

• A． 该行星表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的$\frac{{p}^{2}}{q}$倍
• B． 该行星的平均密度是地球平均密度的$\frac{{q}^{3}}{p}$倍
• C． 该行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{p}{q}}$倍
• D． 宇宙飞船绕该行星表面运行时的周期是它绕地球表面运行周期的p．q³倍

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力求出重力加速度的表达式，根据质量和半径关系求得加速度的关系，根据万有引力提供圆周运动向心力求出中心天体质量及密度表达式，和周期关系．

解答 解：A、根据重力与万有引力相等有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$可得行星表面的重力加速度$g′=\frac{G•P{M}_{地}}{（q{R}_{地}）^{2}}=\frac{P}{{q}^{2}}g$，故A错误；
BD、根据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得中心天体的密度$ρ=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，又近地卫星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，可得该行星近地卫星的周期
T$′=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（q{R}_{地}）^{3}}{Gp{M}_{地}}}=\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}{T}_{地}$，故D错误，行星密度$ρ′=\frac{3π}{G\frac{{q}^{3}}{p}{T}_{地}^{2}}=\frac{p}{{q}^{3}}{ρ}_{地}$，故B错误；
C、根据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$可得星球的第一宇宙速度$v′=\sqrt{\frac{Gp{M}_{地}}{q{R}_{地}}}=\sqrt{\frac{p}{q}}{v}_{地}$，故C正确．
故选：C．

点评 比较一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．