Question

2007年10月31日，我国将“嫦娥一号”卫星送入太空，经过3次近月制动，卫星于11月7日顺利进入环月圆轨道．在不久的将来，我国宇航员将登上月球，届时“嫦娥号”飞船将进入绕月飞行的圆形轨道a，如图，当飞船运动至A点时启动登月舱进入椭圆轨道b，到B点实现着陆，（椭圆轨道的一个焦点在月球中心，A、B分别为与轨道a和月球表面相切点）．已知月球质量为M，半径为R，轨道a半径为r，万有引力常量为G．试求：
（1）飞船绕月飞行的周期T_a；
（2）登月舱由轨道a进入轨道b时，在A点应启动发动机，向前喷气还是向后喷气？从A点到B点的时间是多少？

Answer 1

分析：本题先考虑飞船为何绕月球做匀速圆周运动，后用万有引力提供向心力列方程求飞船周期，再利用开普勒第三定律求时间．

解答：解：（1）设飞船的质量为m，由万有引力提供向心力，得：
G

Mm

r2

=m

4π2

T 2 a

r     
 解得：Ta=2π

r3 GM

    
（2）登月舱由轨道a进入轨道b做向心运动，应减速，故向前喷气．
    设登月舱从A点到B点的时间为t，由开普勒第三定律：

r3

T a 2

=

( R+r 2 )3

(2t)2

  
 解得：t=

π

2

(R+r)3 2GM

点评：本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．