题目内容

如图甲所示，MN为一竖直放置的足够大的荧光屏，O为它的中点，OO′与荧光屏垂直，且长度为l．在MN的左侧O′O空间内存在着方向竖直向下的匀强电场，场强大小为E．乙图是从甲图的左侧去看荧光屏得到的平面图，在荧光屏上以O为原点建立如衅乙的直角坐标系．一细束质量为m、电荷为e的电子以相同的初速度v0从O′点O′O方向射入电场区域．电子的重力和电子间的相互作用都可忽略不计．
（1）求电子打在荧光屏上亮点的位置坐标．
（2）若在MN左侧O′O空间内再加一个匀强磁场，使得荧光屏上的亮点恰好位于原点O处，求这个磁场的感应强度B的大小和方向．
（3）如果保持（2）问中磁感应强度不变，但把电场撤去，粒子仍能达到荧光屏上，求荧光屏上的亮点的位置坐标及从O′到荧光屏所需要的时间（若sinθ=
c
d
，则θ可用反三角函数表示为θ=arsin
c
a
）．
分析：（1）电子在匀强电场中做类平抛运动，沿水平方向和竖直方向分解运动即可；
（2）亮点恰好位于原点O处，表明电子所受的电场力与洛伦兹力大小相等，写出力的平衡方程，代入数据即可求得磁感应强度；
（3）只在磁场作用下，电子在O′Oy平面内做匀速圆周运动，画出运动的轨迹，根据洛伦兹力提供向心力，求出半径的表达式，再结合图象，找出半径对应的几何关系，列出方程，即可解题．
解答：解：（1）电子沿O′O方向做匀速运动：l=v0t…①
电子沿y轴方向做匀加速运动：y=
1
2
at2=
eEl2
2m
v
2
0
…②
即亮点的位置坐标为：(0，
eEl2
2m
v
2
0
)…③
（2）亮点恰好位于原点O处，表明电子所受的电场力与洛伦兹力大小相等，电子做匀速直线运动eE=ev0B…④
解得  B=
E
v0
…⑤
由电场力以及左手定则判定磁场方向垂直纸面向里．
（3）只在磁场作用下，电子在O′Oy平面内做匀速圆周运动，轨迹如图所示．设圆半径为R，洛伦兹力提供向心力ev0B=
m
v
2
0
R
…⑥

得：R=
mv0
eB
=
m
v
2
0
eE

根据几何关系R2-l2=（R-y）2…⑦
得y=R-
R2-l2

联立⑥、⑦得：y=
m
v
2
0
 
 
eE
-
(
m
v
2
0
eE
)2-l2
…⑧
即亮点的位置坐标为(0，
m
v
2
0
 
 
eE
-
(
m
v
2
0
eE
)2-l2
)… ⑨
由图可得：sinθ=
l
R
=
eEl
m
v
2
0
，θ=arcsin
eEl
m
v
2
0
…⑩
由圆周运动周期公式：T=
2πR
v0
…（11）
电子从O′到O的时间为：t=
θ
2π
T=
mv0
eE
arcsin
eEl
m
v
2
0

答：（1）电子打在荧光屏上亮点的位置坐标(0，
eEl2
2m
v
2
0
)．
（2）这个磁场的感应强度  B=
E
v0
磁场方向垂直纸面向里．
（3）荧光屏上的亮点的位置坐标 (0，
m
v
2
0
 
 
eE
-
(
m
v
2
0
eE
)2-l2
)，从O′到荧光屏所需要的时间t=
mv0
eE
arcsin
eEl
m
v
2
0
．
点评：该题设置了三种不同的情景，第3问的难度较大，解题的关键是正确画出运动的轨迹，找出半径与l之间的关系．
练习册系列答案
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场强大小为E。乙图是从甲图的左侧去看荧光屏得到的平面图，在荧光屏上以O为原点

建立如衅乙的直角坐标系。一细束质量为m、电荷为e的电子以相同的初速度从O′点O′O方向射入电场区域。电子的重力和电子间的相互作用都可忽略不计。

   （1）求电子打在荧光屏上亮点的位置坐标。

   （2）若在MN左侧O′O空间内再加一个匀强磁场，使得荧光屏上的亮点恰好位于原点O处，求这个磁场的感应强度B的大小和方向。

   （3）如果保持（2）问中磁感应强度不变，但把电场撤去，粒子仍能达到荧光屏上，求荧光屏上的亮点的位置坐标及从O′到荧光屏所需要的时间（若，则可用反三角函数表示为）。
如图甲所示，MN为一竖直放置的足够大的荧光屏，O为它的中点，OO'与荧光屏垂直，且长度为l。在MN的左侧O'O空间内存在着方向竖直向下的匀强电场，场强大小为E，乙图是从甲图的左侧去看荧光屏得到的平面图，在荧光屏上以O为原点建立如图乙的直角坐标系。一细束质量为m、电荷为e的电子以相同的初速度v0从O'点沿O'O方向射入电场区域。电子的重力和电子间的相互作用都可忽略不计。
（1）求电子打在荧光屏上亮点的位置坐标；
（2）若在MN左侧O'O空间内再加一个匀强磁场，使得荧光屏上的亮点恰好位于原点O处，求这个磁场的感应强度B的大小和方向；
（3）如果保持（2）问中磁感应强度不变，但把电场撤去，粒子仍能达到荧光屏上，求荧光屏上的亮点的位置坐标及从O'到荧光屏所需要的时间（若sinq=c/a，则可用反三角函数表示为）。

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