Question

如图所示，虚线左侧存在非匀强电场，MO是电场中的某条电场线，方向水平向右，长直光滑绝缘细杆CD沿该电场线放置．质量为m₁、电量为+q₁的A球和质量为m₂、电量为+q₂的B球穿过细杆（均可视为点电荷）．t=0时A在O点以速度υ₀向左做匀速运动，同时B在O点右侧某处以速度υ₁也向左运动，且υ₁＞υ₀．t=t₀时B到达O点（未进入非匀强电场区域），A运动到P点，此时两电荷间距离最小．静电力常量为k．

（1）求0～t₀时间内A对B球做的功；
（2）求杆所在直线上场强的最大值；
（3）某同学计算出0～t₀时间内A对B球做的功W₁后，用下列方法计算非匀强电场PO两点间电势差：
设0～t₀时间内B对A球做的功为W₂，非匀强电场对A做的功为W₃，根据动能定理W₂+W₃=0，又因为W₂=-W₁PO两点间电势差U=

W3

q1

=

W1

q1

请分析上述解法是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题，t=0时A球以速度υ₀在非匀强电场中向左做匀速运动，以速度υ₁向左运动，且υ₁＞υ₀．则AB间距离不断减小，B球做减速运动，t=t₀时两者速度相同，距离最小，在此过程中只有A球的库仑力对B球做功，根据动能定理求解0～t₀时间内A对B球做的功；
（2）A做匀速运动，所受的电场力与B球对它的库仑力相平衡，当B球到达O点时，两带电小球间的距离最小，库仑力最大，A所受的电场力也最大，场强最大，根据平衡条件和库仑定律求解场强的最大值；
（3）该同学的解法是错误的．B球向A球靠近的过程，两者位移不等，W₂≠-W₁．

解答：解：（1）B球运动过程中只受A球对它的库仑力作用，当它运动到0点时速度跟A球相同为υ₀．根据动能定理得：
   W=

1

2

mυ

2 0

-

1

2

mυ12
（2）因为A球做匀速运动，t₀时间内运动的位移x=υ₀t₀
此时的库仑力  F=k

q1q2

x2

=

Kq1q2

υ 02t 02

因为A球始终做匀速运动，所以非匀强电场对它的作用力与B球对它的库仑力相平衡．
当B球到达O点时，两带电小球间的距离最小，库仑力最大．
因此，电场对A的作用力也最大，电场强度也最大．E=

F

q1

=

kq2

υ02t 02

（3）该同学的解法是错误的．                       
因为B球向A球靠近的过程，虽然它们的作用力大小相等，但它们运动的位移不等，所以相互作用力所做的功W₁、W₂的大小不相等，即W₂=-W₁是错误的． 
答：（1）0～t₀时间内A对B球做的功是

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

；
（2）杆所在直线上场强的最大值是

kq2

v 2 0 t 2 0

；
（3）该同学的解法是错误的．
因为B球向A球靠近的过程，虽然它们的作用力大小相等，但它们运动的位移不等，所以相互作用力所做的功W₁、W₂的大小不相等，即W₂=-W₁是错误的．

点评：本题根据两球之间库仑力的变化，分析B球的运动情况，确定速度相同时距离最小是关键，再根据动能定理和库仑定律结合求解．