题目内容
（2011?石景山区一模）如图所示，圆心在原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，在圆内区域Ⅰ（r≤R）和圆外区域Ⅱ（r＞R）分别存在两个匀强磁场，方向均垂直于xOy平面．垂直于xOy平面放置两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于x轴放置在y=-2.2R的位置，荧光屏乙平行于y轴放置在x=3.5R的位置．现有一束质量为m、电荷量为q（q＞0）、动能为E0的粒子从坐标为（-R，0）的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，最终打在荧光屏甲上，出现亮点N的坐标为（0.4R，-2.2R）．若撤去圆外磁场，粒子也打在荧光屏甲上，出现亮点M的坐标为（0，-2.2R），此时，若将荧光屏甲沿y轴负方向平移，发现亮点的x轴坐标始终保持不变．不计粒子重力影响．
（1）求在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度v1、v2的大小；
（2）求在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B1、B2的大小和方向；
（3）若上述两个磁场保持不变，荧光屏仍在初始位置，但从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ的粒子束改为质量为m、电荷量为-q、动能为3E0的粒子，求荧光屏上出现亮点的坐标．
分析：由于洛伦兹力对粒子不做功，则运动的速度由粒子的动能求得．在没有圆外磁场时，粒子从A点射入，完成
圆弧后射出．因此可以根据圆形磁场的半径来求出B1磁场大小与方向．当粒子沿y轴负方向射入磁场B2时，根据打到荧光屏甲上的坐标，结合几何关系，可以算出磁场B2的大小与方向．
当改变电荷的电性及初动能时，由B1磁场大小与方向可求出粒子的运动轨道半径，再由B2磁场大小与方向可求出粒子在此的轨道半径．从而由几何关系可确定粒子打到荧光屏的坐标．
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当改变电荷的电性及初动能时，由B1磁场大小与方向可求出粒子的运动轨道半径，再由B2磁场大小与方向可求出粒子在此的轨道半径．从而由几何关系可确定粒子打到荧光屏的坐标．
解答：解：（1）由于在磁场中运动时洛仑兹力不做功，所以在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度大小就是在A点入射时初始速度大小v，由E0=
mv2可得
v1=v2=v=
（2）粒子在区域Ⅰ中运动了四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向进入区域Ⅱ的磁场．如图1所示，圆周运动的圆心是O1点，半径为
r1=R
由qv1B=m
，得B1=
=
方向垂直xoy平面向外．
粒子进入区域Ⅱ后做半径为r2的圆周运动，由qv2B2=m
，
可得r2=
，
圆周运动的圆心O2坐标为（r2，-R），圆周运动轨迹方程为
(x-r2)2+(y+R)2=
将N点的坐标（0.4R，-2.2R）代入上式，可得
r2=2R
求得：B2=
=
方向垂直xoy平面向里．
（3）如图2所示，粒子先在区域Ⅰ中做圆周运动．由3E0=
mv′2可知，
运动速度为 v′=
=
v
轨道半径为 r3=
=
=
R
由圆心O3的坐标（-R，
R）可知，O3A与O3O的夹角为30°．通过分析如图的几何关系，粒子从D点穿出区域Ⅰ的速度方向与x轴正方向的夹角为θ=60°
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为
r4=
=2
=2
R
其圆心O4的坐标为（Rcos60°+r4cos30°，Rsin60°-r4sin30°），
即（
R，-
R），说明圆心O4恰好在荧光屏乙上．所以，亮点将出现在荧光屏乙上的P点，
其y轴坐标为y=-
R+r4=
R
其x轴坐标为x=3.5R．
| 1 |
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v1=v2=v=
|
（2）粒子在区域Ⅰ中运动了四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向进入区域Ⅱ的磁场．如图1所示，圆周运动的圆心是O1点，半径为
r1=R
由qv1B=m
| ||
| r1 |
| mv1 |
| qr1 |
| ||
| qR |
方向垂直xoy平面向外．
粒子进入区域Ⅱ后做半径为r2的圆周运动，由qv2B2=m
| ||
| r2 |
可得r2=
| mv2 |
| qB2 |
圆周运动的圆心O2坐标为（r2，-R），圆周运动轨迹方程为
(x-r2)2+(y+R)2=
| r | 2 2 |
将N点的坐标（0.4R，-2.2R）代入上式，可得
r2=2R
求得：B2=
| mv2 |
| qr2 |
| ||
| 2qR |
方向垂直xoy平面向里．
（3）如图2所示，粒子先在区域Ⅰ中做圆周运动．由3E0=
| 1 |
| 2 |
运动速度为 v′=
|
| 3 |
轨道半径为 r3=
| mv′ |
| qB1 |
| 3 |
| mv |
| qB1 |
| 3 |
由圆心O3的坐标（-R，
| 3 |
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为
r4=
| mv′ |
| qB2 |
| 3 |
| mv |
| qB1 |
| 3 |
其圆心O4的坐标为（Rcos60°+r4cos30°，Rsin60°-r4sin30°），
即（
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| 2 |
| ||
| 2 |
其y轴坐标为y=-
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
其x轴坐标为x=3.5R．
点评：根据粒子的坐标，定出圆心，并画出运动轨道，由几何关系来确定半径，从而求出磁感应强度大小及判定其方向．值得注意的是：磁场方向相反时粒子运动圆弧所对应的圆心在一条直线上．
练习册系列答案
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