Question

10．杂技演员表演“水流星”，使装有水的碗在竖直平面内做半径为0.9m的圆周运动，若碗内盛有100g水，碗的质量为400g，当碗运动到最高点时，碗口向下．
（1）要使水不流出来，碗通过最高点时的速度至少为3m/s，此时水的向心力为1N，绳子受到的拉力为0N；
（2）若通过最高点时绳子拉力为4N，则此时“水流星”的角速度为$\sqrt{2}rad/s$；
（3）若通过最低点的速度是6m/s，则此时，水的向心力为4N，水对碗底的压力5N，绳子受到的拉力为25N．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）在最高点，临界状态时，拉力为零，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出瓶子的速度，根据向心力的公式求出向心力的大小．临界情况下绳子的拉力为零．
（2）在最高点，根据牛顿第二定律列式求解角速度；
（3）在最低点，根据向心力公式求出水的向心力大小，对整体分析，根据牛顿第二定律求出绳子的拉力．对水分析，根据牛顿第二定律求出碗底对水的作用力．

解答 解：（1）设碗和水的总质量为m，“水流星”运动至最高点时，
由mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，当F_拉=0时，速度最小，
则最小速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.9}$=3 m/s
对水而言：F_向=m_水$\frac{{v}^{2}}{R}$=0.1×$\frac{9}{0.9}$=1 N
此时绳子的拉力为0．
（2）在最高点，根据牛顿第二定律得：
mg+F′=mω²R
解得：$ω=\sqrt{\frac{（0.1+0.4）×10+4}{（0.1+0.4）×0.9}}=\sqrt{2}rad/s$
（3）若通过最低点的速度v′=6m/s，
则水的向心力为${F}_{向}′={m}_{水}\frac{v{′}^{2}}{R}=0.1×\frac{36}{0.9}=4N$，
对水受力分析，根据牛顿第二定律的：
N-m_水g=F_向′
解得：N=5N
根据牛顿第三定律可知，水对碗底的压力N′=N=5N
对碗和水整体受力分析，根据牛顿第二定律得：
T-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$
解得：T=$0.5×\frac{36}{0.9}+0.5×10$=25N
故答案为：（1）3；1；0；（2）$\sqrt{2}rad/s$；（3）4；5；25

点评 解决本题的关键掌握物体做圆周运动向心力的来源，抓住临界情况，通过牛顿第二定律进行求解，注意整体法和隔离法在解题中的应用，难度适中．