Question

9．在火星表面上以初速度V₀自高h处水平抛出一小球，水平射程可达x．已知火星的半径为R，如果在火星上发射一颗火星的卫星，求：
（1）卫星沿火星表面绕行的周期；
（2）火星的密度．

Answer 1

分析 由小球平抛可得火星表面重力加速度，进而可以求得卫星沿火星表面绕行的周期，火星的质量，从而可求火星密度．

解答 解：
（1）小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平方向上做匀速直线运动，有：x=v₀t，
解得：
g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$．
对火星表面卫星：
$mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：
T=$2π\sqrt{\frac{R{x}^{2}}{2h{v}_{0}^{2}}}$=$\frac{2πx}{{v}_{0}^{2}}\sqrt{\frac{R}{2h}}$．
（2）
在火星表面有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：
$M=\frac{2{R}^{2}h{v}_{0}^{2}}{{Gx}^{2}}$，
故火星密度为：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2{R}^{2}h{v}_{0}^{2}}{{Gx}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{{2GRπx}^{2}}$
答：（1）卫星沿火星表面绕行的周期$\frac{2πx}{{v}_{0}^{2}}\sqrt{\frac{R}{2h}}$；
（2）火星的密度$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{{2GRπx}^{2}}$．

点评 该题的关键是利用好平抛运动的规律求得火星表面的重力加速度，这是题目给重力加速度的一种常见方式，应掌握熟练．