Question

18．如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端每次都以v₀的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板滑行的距离将发生变化，重力加速度为g．
（1）求小木块与木板间的动摩擦因数；
（2）当θ角满足什么条件时，小木块沿木板滑行的距离最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）θ=30°时，小木块恰好能沿着木板匀速下滑，根据平衡条件和摩擦力公式列方程，可求出摩擦因数；
（2）根据牛顿第二定律得出速度的表达式，然后根据位移公式得到上滑距离S的表达式，结合数学知识求S的极值．

解答 解：（1）当θ=30°时，木块匀速运动，受力平衡．
对木块受力分析得：
 mgsinθ=μF_N…①
 F_N=mgcosθ…②
联立①②得：μ=tanθ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$         
（2）当θ变化时，则由牛顿第二定律有：
 mgsinθ+μmgcosθ=ma
设木块上滑的位移S，则有：v₀²=2aS
可得 S=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$，式中tanα=μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
当θ+α=90°时，S最小，此时有：θ=60°
故有：S_min=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$
答：（1）小物块与木板间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）当θ=60°时，小物块沿木板上滑的距离最小，此最小值为$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$．

点评 本题第二问中求加速度和位移是物理学中的常规问题，关键是由数学三角函数知识求极值，要重视数学方法在物理中的应用．