Question

（2011?海淀区一模）如图所示，一个物块A（可看成质点）放在足够长的平板小车B的右端，A、B一起以v₀的水平初速度沿光滑水平面向左滑行．左边有一固定的竖直墙壁，小车B与墙壁相碰，碰撞时间极短，且碰撞前、后无动能损失．已知物块A与小车B的水平上表面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．
（1）若A、B的质量均为m，求小车与墙壁碰撞后的运动过程中，物块A所受摩擦力的冲量大小和方向；
（2）若A、B的质量比为k，且k＜1，求物块A在小车B上发生相对运动的过程中物块A对地的位移大小；
（3）若A、B的质量比为k，且k=2，求小车第一次与墙壁碰撞后的运动过程所经历的总时间．

Answer 1

分析：（1）碰后动量守恒，根据动量守恒和动量定理列方程可求得结果．
（2）碰后A、B作用过程中系统动量守恒，最终AB速度相同，根据动量守恒和能量守恒列方程可正确解答．
（3）分析清楚运动状态，由于摩擦的存在，经B与墙壁多次碰撞后最终A、B一起停在墙角，每次碰后系统动量守恒，根据动量守恒、功能关系列方程求出每次碰撞后运动时间，然后找出规律，利用数学知识求解即可．

解答：解：（1）设小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v，设向右为正方向，则由动量守恒定律得：
    mv₀-mv₀=2mv
解得：v=0．
对物块A，由动量定理得摩擦力对物块A的冲量：I=0-（-mv₀）=mv₀，冲量方向水平向右．
故物块A所受摩擦力的冲量大小为I=mv₀，方向水平向右．
（2）设A和B的质量分别为km和m，小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v′，木块A的位移大小为s．设向右为正方向，则由动量守恒定律得：则
mv₀-kmv₀=（m+km）v′
解得：v′=

1-k

1+k

v0
对木块A由动能定理得：
 -μkmgs=

1

2

kmv′2-

1

2

km

v

2 0

代入数据解得：s=

2k v 2 0

μg(1+k)2

．
故物块A在小车B上发生相对运动的过程中物块A对地的位移大小为：s=

2k v 2 0

μg(1+k)2

．
（3）当k=2时，根据题意由于摩擦的存在，经B与墙壁多次碰撞后最终A、B一起停在墙角．A与B发生相对运动的时间t₀可等效为A一直做匀减速运动到速度等于0的时间，在A与B发生相对滑动的整个过程，对A应用动量定理：-2mgμt₀=0-2mv₀
解得时间：t0=

v0

μg

，
设第1次碰后A、B达到的共同速度为v₁，B碰墙后，A、B组成的系统，没有外力作用，水平方向动量守恒，设水平向右为正方向，由动量守恒定律，得：
mv₀-2mv₀=（2m+m）v₁
即：v1=-

1

3

v0（负号表示v₁的方向向左）
第1次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v₁这段运动的位移s₁
对小车B，由动能定理得-μ2mgs₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²
解得：s₁=

2 v 2 0

9μg

第1次碰后小车B向左匀速运动时间：t1=

s1

v1

=

2v0

3μg

设第2次碰后共速为v₂，由动量守恒定律，得：mv₁-2mv₁=（2m+m）v₂
即：v2=

1

3

v1=-

1

32

v0
第2次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v₂这段运动的位移s₂，对小车B，由动能定理得：
-μ2mgs₂=

1

2

m v₂²-

1

2

mv₁²
解得：s₂=

1

92

?

2 v 2 0

μg

第2次碰后小车B向左匀速运动时间：t2=

s2

v2

=

2v0

32μg

同理，设第3次碰后共速为v₃，碰后小车B向左匀速运动的位移为s₃，则由动量守恒定律，得：v3=

1

3

v2=-

1

33

v0
s₃=

1

93

?

2 v 2 0

μg

第3次碰后小车B向左匀速运动时间：t3=

s3

v3

=

2v0

33μg

由此类推，第n次碰墙后小车B向左匀速运动时间：tn=

2v0

3nμg

．
第1次碰墙后小车B向左匀速运动时间即B从第一次撞墙后每次向左匀速运动时间为首项为t₁，末项为t_n，公比为

1

3

的无穷等比数列．即B从第一次与墙壁碰撞后匀速运动的总时间t匀=t1+t2+t3+…+tn=

v0

μg

故从第一次B与墙壁碰撞后运动的总时间：t总=t0+t匀=

2v0

μg

．

点评：本题全面考查了动量守恒和功能关系的应用，尤其是第（3）问，要通过关系式找出规律，考查了学生应用数学知识解决物理问题的能力．