Question

如图所示，一轻质细绳的一端系质量m=0.01kg的小球，另一端系在光滑小环套在水平轴O上，O到小球的距离l=0.1m，小球跟水平面接触但无相互作用．在球的两侧等远处，分别竖立一固定挡板，两挡板平行并正对，相距S=2m，水平面上有一质量为M=0.01kg的小滑块，与水平面间的动摩擦因数μ=0.25，滑块和小球连线与档板面垂直，开始时，滑块从左档板处以V₀=10m/s的初速度向小球方向运动，以后在与小球，档板每次碰撞时均不损失机械能，若不计空气阻力，（g取10m/s²） 求：
（1）在滑块第一次与小球碰撞后的瞬间，绳子对小球拉力的大小？
（2）在滑块最静止前，小球完成完整的圆周运动次数．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出木块与小球碰撞前的速度，碰撞的过程中无能量损失，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出碰后小球的速度，结合牛顿第二定律求出绳子拉力的大小．
（2）根据牛顿第二定律求出小球做圆周运动在最高点的最小速度，通过动能定理求出最后一次碰撞后的速度，抓住碰撞过程中速度交换，对木块全过程运用动能定理，从而得出小球能完成完整圆周运动的次数．

解答：解：（1）滑块从开始运动到第一次与小球碰前，根据动能定理得：
-μMg?

S

2

=

1

2

MV

2 1

-

1

2

MV

2 0

V₁为滑块速度
解得：V₁=

v 2 0 -μgS

=

95

m/s
碰撞过程，规定向右为正方向，根据动量守恒得：
MV₁=MV′₁+mV′₂  
根据档板每次碰撞时均不损失机械能，

1

2

MV

2 1

=

1

2

MV′

2 1

+

1

2

mV′

2 2

联立解得：V′₁=0，V′₂=V₁=

95

m/s
可知每次小球与滑块碰撞都交换速度，对小球，根据牛顿第二定律得：
F-mg=

mv′ 2 2

l

代入数据解得：F=0.1+0.01×

95

0.1

N=9.6N．
（2）设小球开始做第n次完整圆周运动时的速度为v_n；
通过最高点速度为v，由于滑块的每次碰撞都不损失机械能，故对滑块有：
-μmg（2n-1）

S

2

=

1

2

mV

2 n

-

1

2

mV

2 0

对小球，根据机械能守恒得：

1

2

mV

2 n

=

1

2

mV

2

+mg?2l
根据牛顿第二定律得小球做完整圆周运动条件是V≥

gl

联立代入数据解得：n=10
答：（1）悬线对小球的拉力为9.6N．
（2）能，小球能完成完整的圆周运动10次．

点评：本题综合考查动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律和动能定理，综合性较强，对学生的能力要求较高，是道难题．