题目内容
【题目】如图所示，倾角 30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个质量均为 m=1kg 的物块 B 和 C，C 紧靠着挡板 P，B 通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量 M=8kg 的小球 A 连接，B 与滑轮之间的距离足够远，细绳平行于斜面，A 在外力作用下静止在圆心角为 60°、半径 R=2m 的
光滑圆弧轨道的顶端 a 处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端 b 与粗糙水平轨道 bc 相切，bc 与一个半径 r=0.2m 的光滑圆轨 道平滑连接。由静止释放小球 A，当 A 滑至 b 点时，C 恰好离开挡板 P，此时连接 AB 的绳子在小球 A 处断裂， 已知小球 A 与 bc 间的动摩擦因数= 0.1 ，重力加速度 g 取 10m/s2，弹簧的形变始终在弹性限度内，所有装置在同一竖直平面内，细绳不可伸长。
（1）求弹簧的劲度系数 k;
（2）小球A滑到b处，绳子刚好断后瞬间，小球A对圆轨道的压力为多少？
（3）为了让小球 A 能进入圆轨道且不脱轨，则bc间的距离应满足什么条件?
【答案】（1）k=5N/m（2）144N，方向竖直向下（3）x≤3m,或者6m≤x≤8m
【解析】（1）A在a处时，绳子拉直无张力，弹簧压缩，设压缩量为
，弹簧弹力为
；
A在b处时，弹簧伸长，设伸长量为
，那么， 
；又有当A滑至b时，C恰好离开挡板P，所以，弹簧弹力
；
所以， 
，所以， 
；
（2）A从a到b过程由，ABC及弹簧系统只有重力、弹簧弹力做功，且A在a处和b处，弹簧的形变量相同，故弹性势能不变，弹簧弹力做功为零；那么，ABC及弹簧系统机械能守恒；
设A在b处的速度为
，那么，B的速度为A的速度在沿绳子方向的分速度，故B的速度
，则由动能定理可得：
，所以， 
；
对物块A滑至b处，绳子断后瞬间应用牛顿第二定律，则有
，所以， 
；
故由牛顿第三定律可知：物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小为
，方向竖直向下；
（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，那么，物块A在圆轨道上可能达到的最高点
或者
；
那么，当
时，对物体A在最高点应用牛顿第二定律有
；
A在圆轨道上运动，机械能守恒，所以，A在c处的动能
；
当
时，由机械能守恒可得A在c处的动能
，所以，A在c处的动能为
或
；
又有A在b处的动能
；
A从b到c运动过程，只有摩擦力做功，且摩擦力
；故由动能定理可得： 
，所以， 
或
；
