题目内容
【题目】如图所示，在半径r=0.5m的圆形区域I内有磁感应强度大小
、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。区域I的正上方有磁感应强度大小
、方向垂直于纸面向内的匀强磁场区域II。区域II水平宽度足够大、高度为d=0.4m，理想水平下边界和区域I的理想边界相切于A点。一足够大且垂直于纸面的薄荧光平板与区域II的理想上边界重合。
为纸面内过圆心O的水平直线。在圆的右侧放置一台带电粒子发射器，它向左平行于
发射出一束比荷
的带正电的相同粒子，粒子的速度大小均为
。发射时，这束粒子沿竖直方向均匀分布在
上下两侧高度各为
的范围内。粒子的重力、粒子间的相互作用力均忽略不计。
。求：
（1）粒子在磁场区域I中运动的轨道半径大小。
（2）打到荧光板的粒子占粒子总数的百分比。
【答案】(1) 
(2) 
【解析】解：（1）设粒子在磁场区域I中估匀速圆周运动的轨道半径大小为
，因为洛伦兹力提供向心力，故有： 
，解得： 
。
（2）因为
，由几何关系可知，纸面内这些平行于
射入磁场区域I的带电粒子，都会从最高点A射出区域I，接着射入区域II.
粒子速的最上边缘处的粒子，在区域I内的运动轨迹如图1所示。设粒子经过A点的速度方向跟竖直方向的夹角为
，过
点轨迹半径跟水平边界的夹角为
，由几何关系得：
， 
，解得： 
，
同理可得，粒子束的最下边缘处的粒子，经过A点的速度方向跟竖直方向的夹角为： 
，如图2所示。
设粒子在磁场区域II中做匀速圆周运动的轨道半径大小为
，因为洛伦兹力提供向心力，故有：
，解得： 
，
粒子束上、下边缘处的粒子进入区域II后，做匀速圆周运动的轨迹如图3、图4所示。
设粒子束下边缘处的粒子最终打在荧光板上的点为C，过C点的轨迹半径跟水平方向的夹角为
，如图4所示。由几何关系得： 
，解得： 
，
即粒子恰好打在A点的正上方。
设粒子的运动轨迹跟荧光板的切点为D，则D就是粒子打到荧光板上最左侧的点，如图5所示。设这些粒子经A点时，速度方向跟竖直方向的夹角为
，由几何关系得：
，解得： 
，
这些粒子在区域I中的运动轨迹如图6所示。设它们从发射器射出的时离
的距离为x，由几何关系得：
，解得： 
，
所以，打到荧光板的粒子占粒子总数的百分比为： 
，解得： 
。
