Question

如图所示，O₁为一根长L=0.4m的绳子系一个质量m=2kg的小球在竖直平面内顺时针做圆周运动的圆心，M为最高点，P为最低点，O₂为一个绕其逆时针做匀速圆周运动的圆环的圆心，最高点为Q，圆环边缘上有两点A、B，弧AB所对的圆心角为30°，PQ=3.2m且与两个圆相切，当小球运动到M点时，绳子突然断开，此时圆环上的A点也转到了Q点，经过一段时间后，小球恰好落在了Q点，而此时30°圆心角所对弧AB上的某点（不包含A、B两点）也转到了Q点，期间圆环至少转了一圈，（忽略空气阻力，取g=10m/s²）求：
（1）绳子断开时，小球的速度大小是多少？
（2）小球经过M点时，绳子断开前一瞬间，绳子上的拉力大小是多少？
（3）圆环逆时针做匀速圆周运动的角速度ω应该满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）由题意知绳子断开后小球从M点开始做平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解；
（2）根据向心力公式列式即可求解；
（3）如果在t的时间内，圆环转了n圈后A和Q点重合，则有：nT_A=t，如果在t时间内，圆环转了n+

1

12

圈后B与Q点重合，则有：(n+

1

12

)TB=t，得出周期，求出角速度，注意周期性．

解答：解：（1）由题意知绳子断开后小球从M点开始做平抛运动，从M到Q平抛的时间为：
t=

2h g

=

2×0.8 10

=0.4s       
则：PQ=3.2m=v₀t=v₀×0.4s
得：v₀=

3.2

0.4

=8m/s           
（2）绳子断开瞬间在M点的瞬时线速度为：v₀=8m/s，
小球在M点做圆周运动的向心力Fn=F+mg=m

v02

L

得：F=2×

64

0.4

-20=300N              
（3）如果在t=0.4s的时间内，圆环转了n圈后A和Q点重合，则有：
nT_A=0.4S   （n=1，2，3，…）    
得周期：TA=

2

5n

（n=1，2，3，…）
则角速度ωA=

2π

TA

=5nπ（n=1，2，3，…）   
如果在t=0.4s的时间内，圆环转了n+

1

12

圈后B与Q点重合，则有：
(n+

1

12

)TB=0.4s（n=1，2，3，…）    
得周期：TB=

24

60n+5

s（n=1，2，3，…）
则角速度ωB=5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）      
则角度度应该满足的条件是：5nπ＜ω＜5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）      
答：（1）绳子断开时，小球的速度大小是8m/s；
（2）小球经过M点时，绳子断开前一瞬间，绳子上的拉力大小是300N；
（3）圆环逆时针做匀速圆周运动的角速度ω应该满足5nπ＜ω＜5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）．

点评：本题主要考查了圆周运动向心力公式及平抛运动的基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，难度适中．