Question

12．科学家一直在努力寻找地球以外适合人类居住的星球，至今已经发现多颗“宜居星球”可能存在支持生命的条件．假设某“宜居星球”的质量是地球的$\frac{1}{49}$、半径是地球的$\frac{1}{4}$，求：
（1）该星球和地球表面重力加速度的比值g_星：g_地
（2）该星球和地球的第一宇宙速度的比值V_星：V_地；
（3）在该星球表面和地球表面同样的高度以相同的初速度平抛一物体，水平射程比值X_星：X_地；
（4）在该星球表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，上升的最大高度的比值H_星：H_地．

Answer 1

分析 （1）在天体表面，万有引力等于重力（2）重力充当向心力时的速度为第一宇宙速度，（3）做平抛运动物体的水平距离x=Vt=V$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，（4）竖直上抛最大高度H=$\frac{{V}^{2}}{2g}$，

解答 解：（1）在天体表面，万有引力等于重力，则：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，所以g_星：g_地=$\frac{1}{49}×\frac{16}{1}$=16；49
（2）重力充当向心力时的速度为第一宇宙速度，即mg=$\frac{m{V}^{2}}{R}$，V=$\sqrt{gR}$，所以V_星：V_地=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=1：2
（3）做平抛运动物体的水平距离x=Vt=V$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，所以X_星：X_地=$\sqrt{\frac{49}{16}}$=7；4
（4）竖直上抛最大高度H=$\frac{{V}^{2}}{2g}$，所以H_星：H_地=49：16
答：（1）该星球和地球表面重力加速度的比值16；49
（2）该星球和地球的第一宇宙速度的比值1：2；
（3）在该星球表面和地球表面同样的高度以相同的初速度平抛一物体，水平射程比值7；4；
（4）在该星球表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，上升的最大高度的比值49：16

点评 掌握两个重要结论：（1）在天体表面，重力约等于万有引力；（2）万有引力充当向心力．