Question

如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上，NMAP段光滑，PQ段粗糙．现在有一质量为m、带电荷量为+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的

3

4

倍．现将小环从M点右侧的D点由静止释放，小环刚好能到达P点．
（1）求DM间距离x₀；
（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小；
（3）若小环与PQ间动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧4R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）小环刚好到达P点时速度v_P=0，由动能定理得
   qEx₀-2mgR=0                                          
而  qE=

3mg

4

所以x0=

8R

3

（2）设小环在A点时的速度为v_A，由动能定理得
  qE(x0+R)-mgR=

1

2

m

v

2A

-0
因此vA=

14Rg

2

设小环在A点时所受半圆环轨道的作用力大小为N，由牛顿第二定律得
  N-qvAB-qE=m

v 2A

R

解得  N=

17mg

4

+

qB 14Rg

2

（3）若f=μmg≥qE，即μ≥

3

4

．小环第一次到达P点右侧s₁距离处静止，由动能定理得
  qE（4R-s₁）-2mgR-fs₁=0                                       
而f=μmg，因此得  s1=

4R

4μ+3

设克服摩擦力所做的功为W，则  W=fs1=

4μmgR

4μ+3

若f=μmg≤qE，即μ＜

3

4

．环经过来回往复运动，最后只能在PD之间往复运动，设克服摩擦力所做的功为W，则
qE（4R）-mg（2R）-W=0                                    
解得W=mgR
答：（1）DM间距离x₀是

8R

3

．
（2）上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小是

17mg

4

+

qB 14Rg

2

；
（3）小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为

4μmgR

4μ+3

或mgR．