Question

16．如图甲所示光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为M=3kg的重物，另一端系一质量为m=1kg、电阻为r=0.1Ω的金属杆，在竖直平面内有间距为L=2.0m的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R=0.9Ω的电阻，其余电阻不计．磁感应强度为B=1.0T的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，重物的速度与下降的高度v-h图象如图乙所示，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）电阻R中的感应电流方向；
（2）重物匀速下降的速度v；
（3）重物从释放到刚开始匀速的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R．
（4）若将重物下降h时的时刻记作t=0，速度记为v₀=v，从此时刻起，磁感应强度逐渐减小，若此后金属杆中恰好不产生感应电流，则磁感应强度B怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断出感应电流方向，判断出R中的电流方向．
（2）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，受力平衡．推导出安培力，由平衡条件列式求出速度v．
（3）重物从释放到下降h的过程中，重物的重力势能减小转化为杆的重力势能和动能、重物的动能及整个回路的内能，根据能量守恒求出整个回路产生的焦耳热，根据串联电路电流关系，求出电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（4）当回路中总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时棒将导轨做匀加速运动．根据磁通量不变，列式求B与t的关系式．

解答 解：（1）电阻R中的感应电流方向为由Q到F  
（2）设细线中的拉力为T，对金属棒：
  T-mg-F_A=ma   
对重物：Mg-T=Ma
式中：安培力F_A=BIL，感应电流 I=$\frac{E}{R+r}$
感应电动势 E=BLv                 
当a=0时，重物匀速下落         
解得：v=$\frac{（M-m）g（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=5m/s
（3）设电路中产生的总焦耳热为Q，由图乙可知，当重物下降h=5m时即开始匀速下降根据能量守恒关系得：
  Mgh-mgh=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+Q，即：Q=50J                
所以：电阻R中产生的焦耳热Q_R为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{0.9}{0.9+0.1}$×50J=45J   
（4）金属杆中恰好不产生感应电流即磁通量不变，则有
 Φ₀=Φ_t，即hLB=（h+h₂）LB_t       
式中：${h_2}={v_0}t+\frac{1}{2}a{t^2}$
又：$a=\frac{3mg-mg}{3m+m}=5m/s{\;}^2$
则磁感应强度B怎样随时间t变化为  ${B_t}=\frac{Bh}{{h+{v_0}t+\frac{g}{4}{t^2}}}=\frac{2}{{{t^2}+2t+2}}$
答：
（1）电阻R中的感应电流方向由Q到F；
（2）重物匀速下降的速度v为5m/s；
（3）重物从释放到刚开始匀速的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R是45J；
（4）磁感应强度B随时间t变化的关系式为 B_t=$\frac{2}{{t}^{2}+2t+2}$．

点评 本题分别从力和能量两个角度研究电磁感应现象，关键是计算安培力和分析能量如何变化，以及把握没有感应电流产生的条件．