Question

在真空中速度为v₀=6.4×10⁷m/s的电子束连续地射人两平行极板之间．极板长L=8.0×10^-2m，间距d=5.0×10^-3m，两极板不带电时，电子束将沿两极板之间的中线通过，在两极板加一个50Hz的交变电压U=U₀sinωt，如果所加电压的最大值U₀超过某一值U_c时，将开始出现以下现象：电子束有时能通过两极板，有时间断不能通过．（电子的质量为9.1×10^-31kg）
求：（1）U_c的大小；
（2）U₀为何值时才能使通过的时间t₁跟间断的时间t₂之比为t₁：t₂=2：1．

Answer 1

分析：（1）电子飞出电场的时间t=

L

v0

=1.25×10^-9s，交变电压的周期T=0.02s，t远小于T，可近似认为一个电子在两板间运动期间，电场来不及发生变化，因此就一个电子来说，它相当于穿过一个恒定的电场．建立了这样的理想化模型：某个电子在匀强电场中做类平抛运动．当电子恰好从飞出电场时，偏转距离等于

d

2

，根据牛顿第二定律和运动学公式求出U_c的大小；
（2）使电子通过的时间t₁跟间断的时间t₂之比为t₁：t₂=2：1，对于按正弦规律变化的交变电压可由数学知识结合画图得到，电压大于U_C的时间为

1

6

周期才能满足条件，由数学知识求出UU₀．

解答：解：（1）电子飞出电场的时间t=

L

v0

=1.25×10^-9s，交变电压的周期T=

1

f

=0.02s，t远小于T，电子相当于穿过一个恒定的电场，做类平抛运动．电子恰好不能通过电场时电压为U_c，则
电子飞出电场的时间t=

L

v0

由

d

2

=

1

2

at2，a=.

eUc

md

联立得，U_c=

m v 2 0 d2

eL2

代入解得，U_c=91V
（2）因为电子通过的时间t₁跟间断的时间t₂之比为t₁：t₂=2：1，所以在半个周期内，将有

1

3

的时间极板间电压的瞬时值超过U_C=91V，而

2

3

的时间内极板间电压的瞬时值小于U_C=91V．根据正弦交流电的变化规律可知，应有：UU_C=U₀sin（

π

3

）  
代入解得：U₀=105V．
答：
（1）U_c的大小是91V；
（2）U₀为105V时才能使电子通过的时间t₁跟间断的时间t₂之比为t₁：t₂=2：1．

点评：本题考查挖掘理想化条件构建物理模型的能力．第（2）问还考查应用数学知识解决物理问题的能力．